暇つぶしで高校数学の問題を作ってみました。もし暇な方が居たら解いてみてください。（大学生以上であっても、興味があったら

Question

暇つぶしで高校数学の問題を作ってみました。

もし暇な方が居たら解いてみてください。（大学生以上であっても、興味があったら解いてみてくれると嬉しいです。）感想くれたらうれしいです。

もし希望があれば採点もします。

（１）25点　（２）25点

数列 $\ \{a_n\}\$ を以下の様に定義する。ただし、 $\alpha,\ \beta,\ \gamma\$ は実数。

$a_{n+3} = a_{n+2} + a_{n+1} - a_n,\quad a_1 = \alpha,\ a_2 = \beta,\ a_3 = \gamma$

(1)　1以上の整数 $\ k\$ において、常に $\ a_{k+1}>a_k$ が成り立つための必要十分条件を書け。

(2)　数列 $\ \{a_n\}\$ の一般項を求めよ。

@PPuRqUQrpCWauYA · Accepted Answer

$(1)$ まず、$k=1,2$ で $a_{k+1} > a_{k}$ が成り立つことが必要なので、 $\alpha < \beta <\gamma $ が必要です。これが十分条件でもあることを数学的帰納法により証明します。正の整数 $k$ に対して、$a_{k+2} > a_{k+1} > a_{k}$ が成り立ったと仮定します。この時、 $a_{k+3} = a_{k+2} + a_{k+1} - a_{k} > a_{k+2}$ ですので、 $a_{k+3} > a_{k+2} > a_{k + 1}$ が成り立ちます。これと $a_{3} = \gamma > a_{2} = \beta > a_{1} = \alpha$ からすべての正の整数 $n$ に対して $a_{n+2} > a_{n+1} > a_{n}$ 、特に $a_{n+1} > a_{n}$ が成り立ちます。したがって、求める必要十分条件は $\alpha < \beta < \gamma$ です。 $(2)$ 漸化式を変形すると、 $a_{n+3} - a_{n+2} = a_{n+1} - a_{n}$ が成り立ちます。この関係式を繰り返し用いることにより、 $n$ が偶数の時には $a_{n+1}-a_{n} = \gamma - \beta$ が、 $n$ が奇数の時には $a_{n+1} -a_{n} = \beta -\alpha$ が成り立つことがわかります。よって、 $n$ が偶数の時は、 $$ \begin{align*} a_{n} &= \alpha + \sum_{i=1}^{n-1} (a_{i+1} - a_{i})\ &=\alpha + \sum_{i=1}^{\frac{n}{2}-1}(a_{2i+1}-a_{2i}) + \sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}(a_{2i+2}-a_{2i+1})\ &=\alpha + (\dfrac{n}{2}-1)(\gamma-\beta)+\dfrac{n}{2}(\beta-\alpha)\ &= (\dfrac{n}{2}-1)(\gamma-\alpha) + \beta \end{align*} $$ 、 $n$ が奇数の時は、 $$ \begin{align*} a_{n} &= \alpha + \sum_{i=1}^{n-1} (a_{i+1} - a_{i})\ &=\alpha + \sum_{i=1}^{\frac{n-1}{2}}(a_{2i+1}-a_{2i}) + \sum_{i=0}^{\frac{n-1}{2}-1}(a_{2i+2}-a_{2i+1})\ &=\alpha + \dfrac{n-1}{2}(\gamma-\beta)+\dfrac{n-1}{2}(\beta-\alpha)\ &=\dfrac{3-n}{2}\alpha + \dfrac{n-1}{2}\gamma \end{align*} $$ です。