36番に関してです。こういう、図形的条件を数式に表すときに、必要十分(この使い方は正しいのかどうかわかりませんが)に

Question

36番に関してです。こういう、図形的条件を数式に表すときに、

必要十分(この使い方は正しいのかどうかわかりませんが)に

表せているかどうかはどう判断したら良いのですか？

特に、幾何で解こうとした時でこの疑問は沸々と起こり、座標で置いた時はそうでもありません。(座標は対称性や対等性、などから必要十分に表現しやすい気がする)

これが、aの値を求めよ、とかであれば幾何でも十分いける気がするのですが、範囲となると不安になります。。。

例えばこの問題であれば、②でこの状況の全てを語り尽くすことができているのか、ととても不安になります。他にもθやφの範囲に限定があるのではないか、とかです。

どうも変な疑問かもしれませんがよろしくお願いいたします🤲

補足

こういう疑問って持つの僕だけじゃないと思うんですよ、、でも参考書でもそういう説明は見たことないです、、

②式は勿論たてることはできます。しかし、立てた後に不安に襲われます。

@sHlcNRe46 · Accepted Answer

微妙なニュアンスの差異をこの文章で伝えるのはとても難しいですが、この問題に関してはもちろん問題ありません。

私ならば、束縛条件を満たしたうえでいろいろ動かしてみて考えます。

この問題で言うと $\mathrm{AB=\sqrt3,AP=PQ=QB=1}$ を満たしながら点 $\mathrm{P,Q}$ を動かしたときに、 $S,T$ がどのようにふるまうかを考えるということです。

特に、ふつうの場合に加えて極端な場合を考えてみることで、立式が正しいことが言えると確信を持てますね。今回だと $\theta=0,\pi$ に近づいていくときに $\phi$ がどのように動くかを考えてみましょう。

$\theta$ が鈍角になると、 $\triangle\mathrm{PQB}$ が存在できないということがわかりますね。三角形の成立条件である $\mathrm{PQ+QB>PB}$ を満たさなくなるからです。

では三角形が存在するような条件のもとで動かしてみると、どちらも三角形は存在していますから、余弦定理より②式が得られます。

つまり、 $\bold{三角形が成立するように動いた場合ならば}$ どのような場合においても、②の式が成り立つと言えるなとわかるわけです。

$\bold{文字を置いた場合はその変域に注意する}$ は必ず意識してほしいポイントですが、今回もそれは問題ありません。

一見、 $\cos\phi=\sqrt3\cos\theta-1$ が $-1$ より小さくなるタイミングがあるように見えますが、これは先ほどの三角形の成立条件と同じく $\theta$ の範囲が制限されることで成り立たせています。

以上よりわかることは、条件を満たさない場合がある場合は、立式から文字の範囲を制限することで表すことができるということです。

京大の数学は、小問での誘導が少ない分、自分で実験して構想を練るのが必要な問題が多数出題されます。 $\bold{特徴的な場合や極端な場合で実験する}$ ことができるようになれば、慣れてくると思います。

この問題の立式が同値かどうかわからない、といった具体的な問題があれば、また質問してください。

Answer

ひとまず問題の状況をあらわすのに必要十分な個数のパラメータを導入してみると良いと思います。あとはパラメータを取り換えるときに同値性が守られればそれで良いです。

たとえば $u = BP^2$ とおきます。

$u$ の値が決まれば，三辺 $PA = 1, AB = \sqrt{3}, BP = \sqrt{u}$ が決まるので， $\triangle PAB$ が決定。また $PQ = QB = 1, BP = \sqrt{u}$ が決まるので $\triangle PQB$ が決定します。逆に， $u$ が決まらなければ $\triangle{PAB},\triangle{PQB}$ は決定しません。よって問題の状況を過不足なくあらわすのに必要なパラメータは $u$ ひとつです。

ただし見かけ上のパラメータは $2$ つでも $3$ つでも構いません。パラメータを増やしたときは，増えすぎた自由度を減らすため，パラメータの間に関係式を導入することになります。

たとえば $x = \cos\angle PAB, y = \cos\angle PQB$ とおきます。すると余弦定理から，

$4 - 2\sqrt{3}x = u, \quad 2 - 2y = u。$

$u$ を消去して，

$y = \sqrt{3}x - 1。$

これがパラメータを $u$ から $x,y$ に取り換えたとき $x,y$ の満たすべき関係式です。

パラメータを $u$ から $x,y$ に取り換えることで，「 $S(u)^2 + T(u)^2$ の値域を求めよ」という問題は，「束縛条件 $y = \sqrt{3}x - 1$ のもとで $S(x,y)^2 + T(x,y)^2$ の値域を求めよ」という同値な問題に置き換わります。模範解答では後者の形の問題を解いていると見なせます。

パラメータの動きうる範囲については個別の問題ごとに吟味する他ないと思います。

いまの問題なら本質的なパラメータは $u$ ひとつなので， $u$ の値域が定まれば十分。 $u$ の下限となるのは $P$ が $AB$ 上にのる場合， $u$ の上限となるのは $P,Q,B$ が一直線上に並ぶ場合。よって（余弦定理から分かるように $u = u(\theta)$ は単調増加なので） $0 < \theta < \pi/2$ が得られます。