数学の質問です。整数全体の集合$U$の$2$つの部分集合$A,B$は、 $A=\{-3,2,a^2-9a+25,2a+

Question

数学の質問です。  整数全体の集合$U$の$2$つの部分集合$A,B$は、 $A=\{-3,2,a^2-9a+25,2a+3\}$ $B=\{-2,a^2-4a-10,a^2-5a+1,a+6,16\}$ であり、$A \cap B = \{ 2,7 \}$であるとする。  と言う問題で解説では、「$A \cap B = \{ 2,7 \}$であるから$a^2-9a+25=7$または$2a+3=7$」とあるのですが、$a^2-9a+25=2$と$2a+3=2$の可能性を考えて居ないのはなぜですか？ 回答宜しくお願いします。

@Rarara · Accepted Answer

勿論、その場合を調べてもらっても構いませんが、数学的に無駄かと思います。

必要条件としては、前者の2式で充分です。

例えば、後者の片方から出てきたaをもう一方に代入した時に7でない場合不適だし、7であったとしても、じゃあもともと前者の2式でよかったじゃないか、といういった具合です。

@DoubleExpYui · Answer

既に $2\in A$は分かっているので，残りの $a^2-9a+25, 2a+3$ のうち少なくとも一方は $7$ でないといけません。と言うことですね。  具体的な設問が分からないので $=2$ を調べる必要性の有無までは判断できませんが，この問題に限れば $a^2-9a+25=(a-3)^2+16
eq2$ は明らかですし，$2a+3=2$ のとき $a^2-9a+25$ は整数ではありませんね。  記述なのかマークなのかで必要性も変わりますし，後は上記を踏まえたうえでご自分で判断して頂ければと思います。