数学の質問です。

　勘違いされていますよ。きっとお疲れなのでしょう。一度深呼吸をして、落ち着きましょう。前半後半の2つに分けて説明します。

●前半「$Q(x)$の次数が偶数であったら、$(x+1)^2(x-2)Q(x)$の次数は奇数となる」

　おっしゃっていることに相違はありません。合ってます。ですが今回の問題には、次数が偶数だとか奇数だとかは全く関係ありません。

●後半「次数が2で偶数の$(x+2)^2$で割り切れなくないですか？」

　数字で考えると、納得するのではないでしょうか？質問主さんがおっしゃっているのは、「$24$は$2^3×3$で$2$が奇数個、$4$は$2^2$で$2$が偶数個あるから、$24$は$4$で割り切れなくないですか？」と言っているに等しいかと。勘違いっぷりにお気づき頂けましたでしょうか。

　大丈夫です。ちゃんと割れますよ！