この問題(左写真の7番)で、最初にどの文字を消去するのかと言うことについてわからないです。

ベストアンサー

退会したユーザー 2023/11/25

$x,y,z$ のどれを消去するかで，模範解答の $D$ にあたる式がそれぞれ

$$(b + c - a)^2 - 4bc,\ (a + c - b)^2 - 4ac,\ (a + b - c)^2 - 4ab$$

に代わるようです。少し見かけが違うだけでどれも同じ式なので，どの変数を消去しても議論の流れは変わらないということになります。模範解答が $y$ を消去した理由は想像がつきません。

下に添付した写真の左半分は，この問題の微分法による別解です。仮にこの解法をとるとしたら，$k = a + b - c > 0$ が成り立つのは議論上好都合なので，$z$ を消すのはむしろ良い直感だったということになると思います。

右半分はこの問題と全然無関係で，最近回答した京大の二重和の問題の別解です。（自分の投稿した内容に心残りなところがあったので，元は大学で数学を教えていた，いまは暇をしている先生からより直接的な解法を聞いてきました。）よければ参考にしてください。

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  Rarara 2023/11/25

  ご丁寧にPDFまでありがとうございます。

  まず、大学の先生の回答の方が発想の流れとして自然でスッと入ってきました、ありがとうございます。別解に追加させていただきます。

  次に、今回の回答の微分法による解法ですが、最初の偏微分のところはラグランジュの未定乗数法で間違い無いですか？(未熟で申し訳ないです)

  (それと、同じ式になることには気づきませんでした、よく考えると、不等式はそこに書いてあるだけで、それを使うまではabcが対等なので対等な式が出てくるのは自明と言うことに今気づきました💦)

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  退会したユーザー 2023/11/25

  未定乗数法というよりは $2$ 変数関数の普通の極大・極小条件です。

  
  

  未定乗数法は束縛条件 $g(\vec{x}) = 0$ のもとで $f(\vec{x})$ の極値を求めるためのもので，たしかに今の問題も $x + y + z = 0$ という束縛条件のもとで $ayz + bzx + cxy$ の極値を求める問題です。

  
  

  未定乗数法を適用することもできますが，それよりは $z = -(x + y)$ を代入し，束縛条件を「使い切って」，元の問題と同値な $2$ 変数関数の極値問題へ帰着させた方が楽だと思うので，そうしています。

  
  
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  Rarara 2023/11/26

  お礼

  ご丁寧にありがとうございました。偏微分に関してはまだあまり慣れていないですが、極値条件は、感覚的には理解できました、受験では使えないのでそこは気をつけたいと思います。