二つの無理数の差が有理数になると仮定した場合、その有理数は0に限られますか？

回答ありがとうございます。たしかにそうでした。無理数の項が一項の場合(√2引く3乗根2など)どうなるかって議論はできると思いますか？

とても記述に書けるような文章ではないですが

$\cos^3{\theta} , \cos{\theta}$ がともに無理数であることがすでに分かっているのであれば....

$4\cos^{3}{\theta}-3\cos{\theta}\ (=\cos{3\theta})$ が有理数であると仮定すると、ある整数 $p,q$ を用いて

$$4\cos^{3}{\theta}-3\cos{\theta}=\dfrac{q}{p}\ (p\neq0)$$

$$\Leftrightarrow p(4\cos^2{\theta}-3)\cos{\theta}=q$$

と表せるので、 $\cos^{2}{\theta}=\dfrac{3}{4}$ の時、$q=0$

$\cos^{2}{\theta}\neq\dfrac{3}{4}$ の時、 $\cos^{2}{\theta}$ が有理数であると仮定すると、

$$\cos{\theta}=\dfrac{q}{p(4\cos^{2}{\theta}-3)}$$

と表せ右辺が有理数となるが、これは $\cos{\theta}$ が無理数であること矛盾するから $\cos^{2}{\theta}$ は無理数である。

$\cos^{2}{\theta}$ が無理数の場合は、$\cos{2\theta}=2\cos^{2}{\theta}-1$ もまた無理数なので、$\cos{2\theta},\cos{3\theta}$ がともに有理数となるような $\theta$ を求めたい場合は $q=0$ の場合しか存在しないので十分かなと;;

一般に二つの無理数の差が有理数になる時それが必ず0になるとは言えないかな思います。

logで無理やりまとめられるならいくらでも具体例を作れそうです

無理数と有理数の和を一項にまとめることができないことの証明は不要になりますかね？これなら大学受験の答案にかけますか？

「無理数と有理数の和を一項にまとめることができない」のは自明と思いましたが，いろいろ調べてみると，必ずしもそうとは言い切れないようです。

大学受験の答案には書かない方が良いと思います。

一般的な場合には成り立ちませんが、特別な場合には成り立ちます。

例:$\sqrt{m}-\sqrt{n}$のとき(m,nは平方数でない)

$\sqrt{m}=q/p +\sqrt{n}$と置いて両辺二乗すると

$m=\dfrac{q^2}{p^2}+2\sqrt{n}\dfrac{q}{p}+n$

となるので、$q=0$でなければならない。□

因みに無理数$-$無理数が有理数になるか無理数になるかわかっていないような例もあります。$π-e$の無理性は未だ証明されていません。