友達に初めて出された関数の積分です。 $$M=\int \dfrac{\cos x}{\sin^3 x+\sin x}

友達に初めて出された関数の積分です。

M=\int \dfrac{\cos x}{\sin^3 x+\sin x} dx

N=\int \dfrac{\sinh^2 x}{\cosh^3 x} dx

P=\int \dfrac{\sinh x \cdot \arctan (e^x)}{\cosh^2 x} dx

補足しないように書きます。

e

は自然対数の底です。

よろしくお願いします。

回答 1件

ベストアンサー

Enigmathematics 2023/9/11

えっと、今回の分は答えだけ書いておきます。

(書き終わったところでちょうどコードが全部消えました泣きそうです)

$M=\log (\sin x)-\dfrac{1}{2} (\sin^2 x +1)+C$

$N=\dfrac{e^x}{e^{2x}+1}\left( \dfrac{2}{e^{2x}+1}-1 \right)+\arctan (e^x)+C$

$P=\dfrac{-2e^x}{e^2x+1}+C$

返信の欄で、要望に応えて過程を書くこともできるので、その際は頼んでもらって大丈夫です

ですが、せめて置換した過程くらいは述べておきます

$M: \sin x=t$

$N: e^x=t ⇒t=\tan u$

$P:e^x=t ⇒\arctan t=u$

全部書けなくて申し訳ないです…

補足

ー訂正ー

$P=\dfrac{-2e^x}{e^{2x}+1}+C$

Arsenic 2023/9/11

ご回答ありがとうございます。
個人的には、(3)の過程が気になります。((3)だけ自分と回答が微妙に異なっていたので......)
差し支えなければよろしくお願いします。
Texのコードが消えた瞬間の絶望感半端ないですよね。自分もあまり数学の質問に関する回答はしていませんが送られてくる回答の数式を見てこの数式のコードを作成するのは大変なんだなと思っています。
だからこそ、毎回回答を送ってくださるあなたには感謝しかないです。
Enigmathematics 2023/9/11

感謝の言葉ありがとうございます…(涙)　本当だったら全部書いてたんですが

すみません答え間違ってたみたいです。過程でちゃんと説明しますね

$(与式)=2\int \dfrac{e^x-e^{-x}}{(e^x+e^{-x})^2}\tan^{-1} e^x dx$
$e^xで置換しろと言わんばかりなので　e^x=t　\dfrac{dt}{dx}=t 　こうして$
$=2\int \dfrac{t-t^{-1}}{t(t+t^{-1})}\tan^{-1} t dt =2\int \dfrac{t^2-1}{(t^2+1)^2}\tan^{-1} t dt$

$また置換　　\tan^{-1} t=u⇔t=\tan u　\dfrac{du}{dt}=\dfrac{1}{1+t^2}$
Enigmathematics 2023/9/11

じぶんはこの次で間違えましたね

$(与式)=2\int \dfrac{\tan^2 u-1}{\tan^2 u+1}u　du=2\int u \left(\dfrac{-2}{\tan^2 u+1}+1\right)　du$
$u$ 単体を書きそびれたので変になってました。

$=-2\int u\cos 2u du=-u\sin 2u+\int \sin 2u du$
よって
$=-2 \sin u \cos u -\dfrac{1}{2} (\cos^2 u-1)+C=-2 \dfrac{\sin u}{\cos u} \cos^2 u- \cos^2 u+\dfrac{1}{2} +C$
$=-\dfrac{2t\tan^1 t +1}{t^2+1}+C=-\dfrac{2 e^x \tan^1 e^x +1}{e^{2x}+1}+C$
Arsenic 2023/9/11

ありがとうございます。
僕のほうと解答が一致しました。安心です。
Enigmathematics 2023/9/11

それはよかったです!

友達に初めて出された関数の積分です。

回答 1件

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