友達に初めて出された関数の積分です。

ご回答ありがとうございます。

個人的には、(3)の過程が気になります。((3)だけ自分と回答が微妙に異なっていたので......)

差し支えなければよろしくお願いします。

Texのコードが消えた瞬間の絶望感半端ないですよね。自分もあまり数学の質問に関する回答はしていませんが送られてくる回答の数式を見てこの数式のコードを作成するのは大変なんだなと思っています。

だからこそ、毎回回答を送ってくださるあなたには感謝しかないです。

感謝の言葉ありがとうございます…(涙)　本当だったら全部書いてたんですが

すみません答え間違ってたみたいです。過程でちゃんと説明しますね

$$(与式)=2\int \dfrac{e^x-e^{-x}}{(e^x+e^{-x})^2}\tan^{-1} e^x dx$$

$e^xで置換しろと言わんばかりなので　e^x=t　\dfrac{dt}{dx}=t 　こうして$

$$=2\int \dfrac{t-t^{-1}}{t(t+t^{-1})}\tan^{-1} t dt =2\int \dfrac{t^2-1}{(t^2+1)^2}\tan^{-1} t dt$$

$また置換　　\tan^{-1} t=u⇔t=\tan u　\dfrac{du}{dt}=\dfrac{1}{1+t^2}$

じぶんはこの次で間違えましたね

$$(与式)=2\int \dfrac{\tan^2 u-1}{\tan^2 u+1}u　du=2\int u \left(\dfrac{-2}{\tan^2 u+1}+1\right)　du$$

$u$単体を書きそびれたので変になってました。

$$=-2\int u\cos 2u du=-u\sin 2u+\int \sin 2u du$$

よって

$$=-2 \sin u \cos u -\dfrac{1}{2} (\cos^2 u-1)+C=-2 \dfrac{\sin u}{\cos u} \cos^2 u- \cos^2 u+\dfrac{1}{2} +C$$

$$=-\dfrac{2t\tan^1 t +1}{t^2+1}+C=-\dfrac{2 e^x \tan^1 e^x +1}{e^{2x}+1}+C$$

ありがとうございます。

僕のほうと解答が一致しました。安心です。

それはよかったです!