やっぱ線形写像でしょ(自作)の問題です。

これなんか収束しそうな気がしたので、

$$\sum_{n=0}^{∞} \left( \dfrac{1}{(3n+1)(3n+2)} \right)<\sum_{n=1}^{∞} \left( \dfrac{1}{n^2} \right)=\dfrac{{\pi}^2}{6}　(ウルトラ適当です)$$

バーゼル問題を引用しただけです…とにかく上に有界なので和を出せるなとはい思いました。

個人的に結構意味わかんない求め方になりますが、積分などを使います。

(もしかすると知ってたりするかも？)

結論から言うと、答えは

$$\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}$$

ではないでしょうか。これ結構面白い問題ですね

結果的に用いた積分のやつを記述します。

$$\int_{-1}^{0} \dfrac{1}{x^2-x+1}　これからはこのいきさつを説明します$$

思いついた法則みたいなのがあって、$(m≧0 ,n>0　m,n:整数)$

$$\dfrac{x^m}{1+x^n}=x^{m}-x^{m+n}+x^{m+2n}-x^{m+3n}+…=x^m \sum_{i=0}^{∞} (-1)^{i} (x^{n})^i$$

これは商の計算をしていたら出てきましたが、証明はしなくてもわかると思います(帰納的に(笑))

これを利用して、

$$\dfrac{1}{1+x^3}　\dfrac{x}{1+x^3}　の式を考えました。$$

分母は3の余剰項で、分子は2つをずらすために上の結果となります。

$$\dfrac{1}{1+x^3}=1-x^3+x^6-x^9…$$

$$\dfrac{x}{1+x^3}=x-x^4+x^7-x^{10}…$$

自分はこれを積分することに狙いを置きました。

$$\int _{-1}^{0} {\dfrac{1}{1+x^3}}=\left[x-\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{1}{7}x^7-\dfrac{1}{10}x^{10}…\right]_{-1}^{0}$$

$$\int _{-1}^{0}{\dfrac{x}{1+x^3}}=\left[\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{5}x^5+\dfrac{1}{8}x^{8}-\dfrac{1}{11}x^{11}…\right]_{-1}^{0}$$

しかし、このままでは単一積分をしたときに$-∞$に発散する項が現れてくるので、先に足し合わせて、

$$\int_{-1}^{0} \dfrac{1}{x^2-x+1}=\left[ x+\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{1}{5}x^5+\dfrac{1}{7}x^7+\dfrac{1}{8}x^{8}-\dfrac{1}{10}x^{10}…\right]_{-1}^{0}$$

ようやく形が見えます

$$\int_{-1}^{0} \dfrac{1}{x^2-x+1}= 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{11}=(与式)$$

このやり方をもし知ってたら、しつこいのを謝っておきます🙇(遅)

これでやっと積分ができます

$$\int_{-1}^{0} \dfrac{1}{x^2-x+1}=\int_{-1}^{0} \dfrac{1}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}$$

あれなら飛ばしても構いません

$$\frac{2}{\sqrt{3}}(x-\frac{1}{2})=\tan u　として　\dfrac{du}{dx}=\frac{\sqrt{3}}{2} \dfrac{1}{\cos^2 u}$$

$$\int_{-1}^{0} \dfrac{1}{x^2-x+1}=\int_{-\frac{\pi}{3}}^{-\frac{\pi}{6}} \frac{2}{\sqrt{3}} du=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$$

これで求まりました。多分あってると思います

今回の一件で無限級数の和の一般式が立ちそうです。