もう迷惑だってくらいの積分です。(出題者(≠投稿者)が積分好き)$$A=\int \dfrac{x^2}{x^2+1}\tan^{-1} x dx$$$$B=\int_{-1}^1\dfrac{1+x^2}{1-x^2} dx$$$$C=\int_0^\infty|\sin x|e^{-x} dx$$$$D=\int_0^1x^m\left(\log x\right)^n dx$$$Aは不定積分、BCDは定積分$を求められる方はいらっしゃいますか？もちろん自分なりの解答はありますが自信がないです。

積分をいつもありがとうございます　出題者さんと気が合いそうです(笑)

全部こたえたいと思います。

Aは、$\tan^{-1}$の置換で大丈夫そうです

$\tan^{-1}x=t$とし、　$\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{x^2+1}$

$$A=\int t \tan ^2 t　dt$$

部分積分で何とかすると、

$$\int \tan^2 t dt=\tan t-t　という事実を使って(割愛)$$

$$A=t(\tan t-t)-\int (\tan t-t)dt$$

$$=-\dfrac{1}{2} t^2+t \tan t +\log |\cos t|$$

ここで、$\tan t=x、　\cos t=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$　より、

$$∴A=-\dfrac{1}{2} (\tan^{-1} x)^2+x \tan x -\dfrac{1}{2}\log(x^2+1)+C$$

Bからは広義積分や特殊積分なので厳密な議論が必要ですが、便宜上少し割愛しますね。

$$B=\lim_{\varepsilon \to 1+0}\int _{-\varepsilon}^{0} \dfrac{1+x^2}{1-x^2}dx +\lim_{\varepsilon' \to 1+0}\int _{0}^{\varepsilon'} \dfrac{1+x^2}{1-x^2} dx$$

$$=\lim_{\varepsilon \to 1+0}\int _{-\varepsilon}^{0} \Bigl(\dfrac{1}{1-x^2}-1\Bigr)dx +\lim_{\varepsilon' \to 1+0}\int _{0}^{\varepsilon'} \Bigl(\dfrac{1}{1-x^2}-1 \Bigr)dx$$

$$=\lim_{\varepsilon \to 1+0} \left[\dfrac{1}{2}\log{\dfrac{x+1}{x-1}} \right]_{0}^{-\varepsilon}+\lim_{\varepsilon' \to 1+0} \left[\dfrac{1}{2}\log{\dfrac{x+1}{x-1}} \right]_{0}^{\varepsilon'}$$

$$=-∞+∞　より広義積分は存在しない。$$

Cは一瞬無限等比級数を想像させました(なんでかは知らん)。ですから自然数:$k$を用いて部分的に積分を評価して求めました。

$$k\pi　から　(k+1)\pi　　のような感じです$$

ここからは$k$を奇数、偶数と書けて考えます。

$$\int_{(k-1)\pi}^{k\pi} e^{-x}\sin x dx=I_k　とします$$

$(ⅰ)kが奇数のとき$

$$\int_{(k-1)\pi}^{k\pi} e^{-x}\sin x dx=0+\int_{(k-1)\pi}^{k\pi} e^{-x} \cos xdx$$

$$=(e^{\pi}+1)e^{-k\pi}-\int_{(k-1)\pi}^{k\pi} e^{-x}\sin x dx$$

$$I_{k奇}=\dfrac{(e^{\pi}+1)e^{-k\pi}}{2}$$

$(ⅱ)kが偶数のとき$

$$-\int_{(k-1)\pi}^{k\pi} e^{-x}\sin x dx=0-\int_{(k-1)\pi}^{k\pi} e^{-x} \cos xdx$$

$$=-(e^{\pi}+1)e^{-k\pi}+\int_{(k-1)\pi}^{k\pi} e^{-x}\sin x dx$$

$$I_{k奇}=\dfrac{(e^{\pi}+1)e^{-k\pi}}{2}$$

結果的に奇数でも偶数でも同じなので、一般的に、

$$I_k=\dfrac{(e^{\pi}+1)e^{-k\pi}}{2}$$

が言えます。したがって、

$$C=\sum_{k=1}^{∞} I_kとなり、I_kは公比e^{-\pi},初項\dfrac{(e^{\pi}+1)e^{-\pi}}{2}の無限等比級数である。$$

また公比は$1$より小さいので,この求める和は収束し

$$C=\sum_{k=1}^{∞} I_k=\dfrac{\frac{(e^{\pi}+1)e^{-\pi}}{2}}{1-e^{-\pi}}=\dfrac{e^{\pi}+1}{2(e^{\pi}-1)}$$

Dはなかなかに面倒かもしれませんが、答えはスッキリしてよかったです。

部分積分で$\log$を消すのを目的として進めると、

$$\lim_{\varepsilon \to +0}\int_{\varepsilon}^{1} x^m (\log x)^n dx$$

$$=\lim_{\varepsilon \to +0}\left[\dfrac{1}{m+1} x^{m+1}(\log x)^n\right]_{\varepsilon}^{1}-\lim_{\varepsilon \to +0}\int_{\varepsilon}^{1}\dfrac{n}{m+1}x^m(\log x)^{n-1} dx$$

ここで、$$\lim_{\varepsilon \to+0}{\varepsilon}^{m+1}(\log {\varepsilon})^nについて$$

$-\log{\varepsilon}=y$とし、

$$\lim_{\varepsilon \to+0}{\varepsilon}^{m+1}(\log {\varepsilon})^n=\lim_{\varepsilon \to∞}{e^{{-y}(m+1)}}(-y)^n$$

一般的に指数関数の方が発散スピードが大きいので、$0$となる。よって、

$$\lim_{\varepsilon \to +0}\int_{\varepsilon}^{1} x^m (\log x)^n dx=0-\lim_{\varepsilon \to +0}\int_{\varepsilon}^{1}\dfrac{n}{m+1}x^m(\log x)^{n-1} dx$$

$$=-0+ \lim_{\varepsilon \to +0}(-1)^2\int_{\varepsilon}^{1}\dfrac{n(n-1)}{(m+1)^2}x^m(\log x)^{n-2} dx$$

$$=0+ \lim_{\varepsilon \to +0}(-1)^3\int_{\varepsilon}^{1}\dfrac{n(n-1)(n-2)}{(m+1)^3}x^m(\log x)^{n-3} dx$$

帰納的に考えてみると、(無理やりですみません)

$$D= \lim_{\varepsilon \to +0}(-1)^n\int_{\varepsilon}^{1}\dfrac{n!}{(m+1)^ n}x^m dx$$

したがって、

$$∴D=(-1)^n\dfrac{n!}{(m+1)^{n+1}}$$

多分どこかで何かしてるかもしれないので、確認してくれると大変助かります🙇

骨折りな問題ばかりですねほんと