なんか線形写像の問題です。

合ってるかはわからないけど解いてみました。

$(1)$

$4^{m-1} \leqq k \leqq 4^m-1$の$3 \cdot 4^{m-1}$個の$k$では、$[\log_4k]=m-1$なので、

$$T_{4^n-1}=\sum_{k=1}^{4^n-1}4^{[\log_4k]}=\sum_{m=1}^n3 \cdot 4^{m-1} \cdot 4^{m-1}=\frac{1}{5}(16^n-1)・・・答$$

$(2)$

$S_n$を簡単にすると、

$$S_n=\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$$

これが2021以上となる最小の$n$は、$n=64$・・・答(解法略)

$T_n$は、適当な自然数$a,b(b \leqq 3 \cdot 4^a)$を用いて$T_n=T_{4^a-1+b}$と表せて、$(1)$より、

$$T_{4^a-1+b}=\frac{1}{5}(16^a-1)+b4^a$$

$$\frac{1}{5}(16^3-1)=819 \leqq 2021 \leqq \frac{1}{5}(16^4-1)=13107$$

$a=3$のとき、

$$819+64b \geqq 2021 すなわち　b \geqq 18.7・・・$$

よって$T_n \geqq 2021$となる最小の$n(=4^a-1+b)$は、$a=3,b=19でn=82$・・・答

$(3)$

$$\frac{T_{4^n-1}}{S_{4^n-1}}=\frac{\frac{1}{5}(16^n-1)}{\frac{1}{2}(4^n-1)4^n}=\frac{2}{5}\Bigl (1+\frac{1}{4^n} \Bigr)$$

$$\Biggl |\frac{T_{4^n-1}}{S_{4^n-1}}-\frac{2}{5} \Biggr|=\frac{2}{5 \cdot 4^n}$$

$$これと、\frac{1}{10^{21}}の大小が、\frac{2}{5 \cdot 4^n}<\frac{1}{10^{21}}・・・➀となるものを考える。$$

両辺に常用対数をとると、符号に注意して

$0.3010<\log_{10}2<0.3020$より、➀を満たす最小の$n$は34・・・答