写真の問題の(2)についてですが、「OHベクトルがuベクトルと垂直」という関係をもとに解いていますが、

「$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0$」は、

「$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}または \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}または\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$」の必要十分条件です。

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}や\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$の時は、$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が定義できなくなってしまうので、垂直の条件を調べたいときはベクトルに大きさを持たせる必要があります。

(写真の問題で言えば、$\overrightarrow{OH} \cdot t\overrightarrow{u}=0$と必要十分となる条件は、

$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{0}$ または$t\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ または$\overrightarrow{OH} \perp t\overrightarrow{u}$ です。

$\overrightarrow{OH}$も$\overrightarrow{u}$も明らかに$\overrightarrow{0}$ではないので、$t=0$または$\overrightarrow{OH} \perp t\overrightarrow{u}$となります。)