ほんとに何度もすみません。どうか相手にしてください。逆関数というのは、「出力と入力の関係式を逆にしたものである」とい

Question

ほんとに何度もすみません。
どうか相手にしてください。

逆関数というのは、「出力と入力の関係式を逆にしたものである」ということは定義ですか？(それとも逆関数に対してこの解釈は間違ってますか？)もし上記のことが正しいとすると、例えばy=2xについて考えたとき、この関数はxに1,2,3,4.という値を入力した際に出力される値は2,4,6.8であるということを表していて、x=2yというのはy=2xの出力と入力を入れ替えた
もの(だからxとyが入れ替わってる)よってy=2xで出力されたy=2,4,6,8というのをx=2yのxに入力すると、y=1,2,3,4という値が出力される」という解釈で良いでしょうか？
今書いてて、思ったことがあるのですが、y=2xが(a,b)を満たす時、b=2aとなると思いますが、x=2yの(x,y)には(b,a)が入ることからb=2aとなって、これは元のy=2xと同じであるように思えてきました。x=2yはy=2xの逆関数ではない、すなわち一般的にx=f(y)はy=f(x)の逆関数ではないのでは？と思いました。しかし、y=f(x)とx=f(y)が同じ関数であるとすると、x=f(y)を整理したy=g(x)はy=f(x)の逆関数になるはずなのに、y=f(x)⇔x=f(y)⇔y=g(x)からy=g(x)がy=f(x)同じものを表していることになり、矛盾する気がします。
(繰り返しになりますが、)おそらくy=f(x)とx=f(y)は同値ではないはずですが、先ほど(y=2xの例で)述べたように、y=f(x)がb=f(a)を満たすときx=f(y)もb=f(a)を満たすことから、y=f(x)とx=f(y)が同じものに見えてきてしまいます。なぜ、y=f(x)の逆関数はx=f(y)となるのでしょうか？
度重なる質問ですみません。解説おねがいします

EA1018 · Accepted Answer

逆関数とは、ある関数f(x)に対して、その入力値と出力値を逆にした関数g(y)を指します。つまり、g(y) = x となるようなxがf(x)=yを解くことで求められます。x=f(y)という関数を考えた場合、これが元の関数y=f(x)の逆関数であるためには、以下の条件を満たす必要があります。

・関数y=f(x)が一対一の関係である。
・関数y=f(x)が可逆である。

一対一の関係である場合、異なる入力値に対して異なる出力値が単一に対応するため、逆関数が存在します。一方、一対多の関係である場合、同じ出力値に対して複数の異なる入力値が存在するため、逆関数が存在しない場合があります。また、関数が可逆である場合、ある入力値に対してただ一つの出力値が存在することを意味します。

y=f(x)の逆関数はx=f(y)であることは、確かに数学的に証明されています。したがって、ある一定の条件下では、x=f(y)はy=f(x)の逆関数になります。例えば、y=2xの場合、y=f(x)とすると、f(1)=2、f(2)=4、f(3)=6、f(4)=8となります。このとき、f(x)の逆関数はg(y)=x/2です。g(2)=1、g(4)=2、g(6)=3、g(8)=4となります。言い換えると、y=f(x)の入力と出力の関係が表されるグラフをy=xに関して対称移動させたグラフが、x=f(y)の入力と出力の関係を表すグラフと一致します。

ただし、逆関数がない場合や、別な形の逆関数が存在する場合もあります。例えば、y=x^2の場合は、0を除いた全ての実数に対し逆関数が存在し、それぞれx=yの正の解とx=-yの負の解で与えられます。

長くなってすいません。この単元激ムズですね。頑張ってください！

ontama_udon · Answer

めちゃくちゃいい質問だと思います。

＞今書いてて、思ったことがあるのですが、y=2xが(a,b)を満たす時、b=2aとなると思いますが、x=2yの(x,y)には(b,a)が入ることからb=2aとなって、これは元のy=2xと同じであるように思えてきました。

逆関数の説明の前に、高校数学における関数とは何かを明確にさせてください。
$x$に定義域内の実数を入力して、ただ一つの実数$y$が出力されるとき、
「$y$は$x$の関数」と言います。この時、入力$x$を出力$y$に変換するための記号を$f$と書いて、関数$y$を$y=f(x)$と表します。

ここで重要なのは、$f$は単なる変換の方法であって、関数そのものは$y$の方だということです。

ご指摘の通り、$y=f(x)$に$(a,b)$、$x=f(y)$に$(b,a)$を入れると、両方とも$b=f(a)$という等式が得られますが、この$f$自体に関数という意味はなく、あくまで$y$が関数です。(関数$y=f(x)$でも、逆関数$x=f(y)$でも)

関数$y=f(x)$の逆関数を$x=f(y)$と定義できる理由は、どちらも$y$が$x$の関数になっているからと言えます。

ちなみに二つの関数が一致することの定義は、任意の入力$x$に対して、両者が同一の出力$y$を返すことです。
$y=2x$と$x=2y$に、ともに$x=1$を入れてみると、出力は異なる値$y=2$と$y=\frac{1}{2}$であり、$y=2x$と$x=2y$は一致しないことがわかります。

$y$が関数だというのを分かり易くするために、数学では$y=f(x)$の逆関数を$y=f^{-1}(x)$と表すこともあります。

ほんとに何度もすみません。

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