ほんとに何度もすみません。
どうか相手にしてください。
逆関数というのは、「出力と入力の関係式を逆にしたものである」ということは定義ですか？(それとも逆関数に対してこの解釈は間違ってますか？)もし上記のことが正しいとすると、例えばy=2xについて考えたとき、この関数はxに1,2,3,4.という値を入力した際に出力される値は2,4,6.8であるということを表していて、x=2yというのはy=2xの出力と入力を入れ替えた
もの(だからxとyが入れ替わってる)よってy=2xで出力されたy=2,4,6,8というのをx=2yのxに入力すると、y=1,2,3,4という値が出力される」という解釈で良いでしょうか？
今書いてて、思ったことがあるのですが、y=2xが(a,b)を満たす時、b=2aとなると思いますが、x=2yの(x,y)には(b,a)が入ることからb=2aとなって、これは元のy=2xと同じであるように思えてきました。x=2yはy=2xの逆関数ではない、すなわち一般的にx=f(y)はy=f(x)の逆関数ではないのでは？と思いました。しかし、y=f(x)とx=f(y)が同じ関数であるとすると、x=f(y)を整理したy=g(x)はy=f(x)の逆関数になるはずなのに、y=f(x)⇔x=f(y)⇔y=g(x)からy=g(x)がy=f(x)同じものを表していることになり、矛盾する気がします。
(繰り返しになりますが、)おそらくy=f(x)とx=f(y)は同値ではないはずですが、先ほど(y=2xの例で)述べたように、y=f(x)がb=f(a)を満たすときx=f(y)もb=f(a)を満たすことから、y=f(x)とx=f(y)が同じものに見えてきてしまいます。なぜ、y=f(x)の逆関数はx=f(y)となるのでしょうか？
度重なる質問ですみません。解説おねがいします
ベストアンサー
逆関数とは、ある関数f(x)に対して、その入力値と出力値を逆にした関数g(y)を指します。つまり、g(y) = x となるようなxがf(x)=yを解くことで求められます。x=f(y)という関数を考えた場合、これが元の関数y=f(x)の逆関数であるためには、以下の条件を満たす必要があります。
・関数y=f(x)が一対一の関係である。
・関数y=f(x)が可逆である。
一対一の関係である場合、異なる入力値に対して異なる出力値が単一に対応するため、逆関数が存在します。一方、一対多の関係である場合、同じ出力値に対して複数の異なる入力値が存在するため、逆関数が存在しない場合があります。また、関数が可逆である場合、ある入力値に対してただ一つの出力値が存在することを意味します。
y=f(x)の逆関数はx=f(y)であることは、確かに数学的に証明されています。したがって、ある一定の条件下では、x=f(y)はy=f(x)の逆関数になります。例えば、y=2xの場合、y=f(x)とすると、f(1)=2、f(2)=4、f(3)=6、f(4)=8となります。このとき、f(x)の逆関数はg(y)=x/2です。g(2)=1、g(4)=2、g(6)=3、g(8)=4となります。言い換えると、y=f(x)の入力と出力の関係が表されるグラフをy=xに関して対称移動させたグラフが、x=f(y)の入力と出力の関係を表すグラフと一致します。
ただし、逆関数がない場合や、別な形の逆関数が存在する場合もあります。例えば、y=x^2の場合は、0を除いた全ての実数に対し逆関数が存在し、それぞれx=yの正の解とx=-yの負の解で与えられます。
長くなってすいません。この単元激ムズですね。頑張ってください！
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そのほかの回答（1件）
めちゃくちゃいい質問だと思います。
＞今書いてて、思ったことがあるのですが、y=2xが(a,b)を満たす時、b=2aとなると思いますが、x=2yの(x,y)には(b,a)が入ることからb=2aとなって、これは元のy=2xと同じであるように思えてきました。
逆関数の説明の前に、高校数学における関数とは何かを明確にさせてください。
に定義域内の実数を入力して、ただ一つの実数が出力されるとき、
「はの関数」と言います。この時、入力を出力に変換するための記号をと書いて、関数をと表します。
ここで重要なのは、は単なる変換の方法であって、関数そのものはの方だということです。
ご指摘の通り、に、にを入れると、両方ともという等式が得られますが、この自体に関数という意味はなく、あくまでが関数です。(関数でも、逆関数でも)
関数の逆関数をと定義できる理由は、どちらもがの関数になっているからと言えます。
ちなみに二つの関数が一致することの定義は、任意の入力に対して、両者が同一の出力を返すことです。
とに、ともにを入れてみると、出力は異なる値とであり、とは一致しないことがわかります。
が関数だというのを分かり易くするために、数学ではの逆関数をと表すこともあります。
自分がどこまで理解しているのかを明確にしたいので、箇条書きで記します
①x=f(y)というのはy=f(x)の入出力を入れ替えたものですか？
②y=f(x)をx=a,y=bが満たすとき、x=f(y)はx=b,y=aが当てはまりますか？
③(①が合っているとして…)y=f(x)の入出力を入れ替えたものはx=f(y)と表せて、これを同値変形したy=g(x)がy=f(x)の逆関数ですか？
