基礎問題精講61の演習です。1番最初のsinθ-√3cosθが導き出される理由を知りたいです。

問題はたぶんこうですね

$$y=2\sin\theta-2\sqrt3 \cos\theta+\sin 2\theta-\sqrt3 \cos 2\theta$$

ぱっと見　$△-\sqrt3 〇$のような形が前後で見えると思われます。なので置換するとしたらこの形を保っておくのが都合がよくおいしいところがあるので、

$$t=\sin\theta-\sqrt3 \cos\theta$$

または

$$t=\sin 2\theta-\sqrt3 \cos 2\theta$$

と絞れると思います。ですが下の$2\theta$の方を置換として採用してしまうと、その$t(2\theta)$で$\sin\theta-\sqrt3 \cos\theta(\theta)$を表すのはものすごくかったるい変換となってしまいます。だから上の方を置換として用いるほうが現実的だといえますね。$\sin\thetaや\cos\thetaの積はその２倍角を表せるので$それも理由の一つかと。で、物は試しということで$t^2$を考えた結果、$\sin 2\theta-\sqrt3 \cos 2\theta$が表現できる結果となってしまったんだと思います。

　今回は偶然ともとれる変換だと思うので確実なことは言えませんが、とにかく三角関数での置換は、特に$\thetaと2\theta$が混合してるときは２倍角を利用して統一できるような置換を考えてみる、というのが大事だと思います。