(3)の問題なのですが、

あ、今日の三角関数の方ですね！　質問ありがとうございます

さて、この解説の波線の部分ですけど自分もぱっと見　これほんとにすなわちなのかって思いました。これ解答が間違っている可能性がありますね。因みにじぶんでしたら

$(ⅰ)$ $\sin x$ $\geqq0$ ,すなわち　$0$ $\leqq$ $x$ $\leqq$ $\pi$,$x=-\pi$のとき

$(ⅱ)$ $\sin x$ $<0$ ,すなわち　$-\pi<x<0$ のとき

と場合分けをすると思います。解説のやりかたは、

$0$ $\leqq$ $x$ $\leqq$ $\pi$,$-\pi \leqq x<0$の二つできれいに分けたかったのかもしれません。つまり"$\sin x$主体"ではなく"$x$の範囲主体"でやっているから、変な場合分けに見えるんだと(解答が間違いの可能性大)思いますよ。気持ちが悪かったらこれ一回出版社に問い合わせしてみるのも一つの手ではありますよ。