相反方程式 実数解の個数

$x$ についての方程式 $x+\dfrac{1}{x}=t$ が、$t$ の範囲によってどのような解になるかをまず考えましょう。

$$x+\dfrac{1}{x}=t \iff x^2-tx+1=0$$

であり、この方程式の判別式を $D$ とすると、$D=t^2-4=(t+2)(t-2)$ です。

つまり、$-2<t<2$ のとき実数解は $0$ 個、$t=\pm2$ のとき実数解は $0$ 個、$t<-2,2,t$ のとき実数解は $2$ 個です。

したがって、$f(x)=0$ の異なる実数解の個数が $3$ 個であるための必要条件は、$t$ についての方程式 $7t^2+2t+(k-14)=0$ が、$1$ つは $t=2$ または $t=-2$ に解をもち、もう $1$ つはそれ以外に解をもつことです。

$t=2$ が解であるとき、$k=-18$ であり、もう $1$ つの解は $t=-\dfrac{16}{7}$ となります。これは条件を満たします。

$t=-2$ が解であるとき、$k=-10$ であり、もう $1$ つの解は $t=\dfrac{12}{7}$ となります。これは条件を満たしません。

よって、求める値は $k=-18$ となります。