数学的帰納法について

つねに(3)のパターンを使ってもいけないことはありませんが，証明の書き方として不自然になる場合があると思います．

たとえば次の命題

「任意の $n \geq 1$ に対して $P(n) := (n\,以下の素数すべての積) < 4^n$」

を例にとってみます．

　この命題を帰納法で証明しようというとき，$P(k + 1) < 4^{k + 1}$ の証明に必要なのは $P(k) = \max \{P(1),P(2),\cdots,P(k)\}$ がどれほど大きいかという評価であって，$P(1),P(2),\cdots,P(k)$ 個々の値がどれほど大きいかという評価は不要です．つまり $n = k$ での成立さえ帰納法の仮定におけばよいので，$n \leq k$ での成立を仮定するのは過剰です．それは命題の形式をみただけで察せられます．

　こういう場合，「$n \leq k$ での成立を仮定する」と書いたら，「おや，この議論者はどうしてこんな無意味な仮定を置いているのだろう？　この議論はどこへ向かっているのだろう？」と読み手を幾分戸惑わせると思います．

証明の道筋を明快にするという観点からゆけば，(1)，(3)のパターンを場合に応じて使い分けるのがよいのではないかと思います．