数学的帰納法について https://manabitimes.jp/math/644 によると、数学的帰納法の(3)のパ

Question

数学的帰納法について

https://manabitimes.jp/math/644 によると、数学的帰納法の(3)のパターンでは、「 $n \leqq k-1$ の場合全てを仮定して $n=k$ のときを示す」がありますが、これを使って良いのなら(1)のように「 $n=k$ のときだけを仮定して $n=k+1$ の場合を示す」必要はなく、どんな問題であっても(3)のパターンを使ってしまったほうが、パターン分けをする必要がなく楽だと思うのですが、そうしてはいけないのはなぜでしょうか？

例えば最初の例の $1+2+ \cdots n=\frac{1}{2}n(n+1)$ の証明に対して

「 $n=1$ のとき、～～により成立。 $n \leqq k-1$ 全てで成立すると仮定し、 $n=k$ のとき、～～により成立。」

といった書き方ではいけないのはなぜでしょうか？

Accepted Answer

つねに(3)のパターンを使ってもいけないことはありませんが，証明の書き方として不自然になる場合があると思います．

たとえば次の命題

「任意の $n \geq 1$ に対して $P(n) := (n\,以下の素数すべての積) < 4^n$ 」

を例にとってみます．

　この命題を帰納法で証明しようというとき， $P(k + 1) < 4^{k + 1}$ の証明に必要なのは $P(k) = \max \{P(1),P(2),\cdots,P(k)\}$ がどれほど大きいかという評価であって， $P(1),P(2),\cdots,P(k)$ 個々の値がどれほど大きいかという評価は不要です．つまり $n = k$ での成立さえ帰納法の仮定におけばよいので， $n \leq k$ での成立を仮定するのは過剰です．それは命題の形式をみただけで察せられます．