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数学的帰納法について
https://manabitimes.jp/math/644 によると、数学的帰納法の(3)のパターンでは、「の場合全てを仮定してのときを示す」がありますが、これを使って良いのなら(1)のように「のときだけを仮定しての場合を示す」必要はなく、どんな問題であっても(3)のパターンを使ってしまったほうが、パターン分けをする必要がなく楽だと思うのですが、そうしてはいけないのはなぜでしょうか?
例えば最初の例のの証明に対して
「のとき、~~により成立。全てで成立すると仮定し、のとき、~~により成立。」
といった書き方ではいけないのはなぜでしょうか?
ベストアンサー

つねに(3)のパターンを使ってもいけないことはありませんが,証明の書き方として不自然になる場合があると思います.
たとえば次の命題
「任意の に対して 」
を例にとってみます.
この命題を帰納法で証明しようというとき, の証明に必要なのは がどれほど大きいかという評価であって, 個々の値がどれほど大きいかという評価は不要です.つまり での成立さえ帰納法の仮定におけばよいので, での成立を仮定するのは過剰です.それは命題の形式をみただけで察せられます.
こういう場合,「 での成立を仮定する」と書いたら,「おや,この議論者はどうしてこんな無意味な仮定を置いているのだろう? この議論はどこへ向かっているのだろう?」と読み手を幾分戸惑わせると思います.
証明の道筋を明快にするという観点からゆけば,(1),(3)のパターンを場合に応じて使い分けるのがよいのではないかと思います.
質問者からのお礼コメント
ありがとうございます。「不必要な仮定をおいてはならない」から使い分ける必要があるんですね。