物理科の方に質問をしたいです。

物理科ではないですが、電気系の工学研究科の大学院生としてコメントします。

$$i=\dfrac{dQ}{dt}$$が電流の定義なので、ほぼ自明としてよいと考えます。

大学で学ぶ物理、特に電磁気に関する公式は、微分系と積分系でセットになっているものが多く見られます。微分系は一瞬における変化をミクロな視点から見ており、積分系はその変化をマクロな視点からとらえています。

この電流の定義は、ある時刻における瞬間的な電荷の変化量が電流であることを表しており、

そして質問者の提示した積分の式は、電流を流していれば最終的に電荷が $Q$ になるということを表している式です。

微分系と積分系の表す対象が異なるものの、意味していることは同じであるということが理解できればよいと思います。