an+1an=Sn+(n+1)2=Sn−1+n2(n≧2)
の辺々差をとって、an+1−an=an+2n+1⟺an+1=2an+2n+1
を得る。a2=5 よりこれは n=1 でも成り立つ。
bn+1=an+2−an+1=(2an+1+2n+3)−(2an+2n+1)=2(an+1−an)+2=2bn+2
この漸化式を変形すると、bn+1+2=2(bn+2) となる。
したがって、数列 {bn+2} は、初項b1+2=a2−a1+2=6、公比 2 の等比数列であるから、
bn+2⟺bn=6⋅2n−1=3⋅2n=3⋅2n−2
よって、n≧2 において、
an=a1+k=1∑n−1bk=1+k=1∑n−1(3⋅2n−2)=1+3⋅2−12(2n−1−1)−2(n−1)=3⋅2n−2n−3
となる。a1=1 より n=1 においてもこれを満たす。
質問者からのお礼コメント
とてもよく理解できました。ありがとうございました。