漸化式の問題です。解答をよろしくお願いします。

$$\begin{aligned}a_{n+1}&=S_n+(n+1)^2 \\a_n&=S_{n-1}+n^2 \quad(n\geqq2)\end{aligned}$$

の辺々差をとって、$$a_{n+1}-a_n=a_n+2n+1 \\ \iff a_{n+1}=2a_n+2n+1$$

を得る。$a_2=5$ よりこれは $n=1$ でも成り立つ。

$$\begin{aligned}b_{n+1}&=a_{n+2}-a_{n+1}=(2a_{n+1}+2n+3)-(2a_n+2n+1) \\&=2(a_{n+1}-a_n)+2 \\&=2b_n+2\end{aligned}$$

この漸化式を変形すると、$b_{n+1}+2=2(b_n+2)$ となる。

したがって、数列 $\{b_n+2\}$ は、初項$b_1+2=a_2-a_1+2=6$、公比 $2$ の等比数列であるから、

$$\begin{aligned}b_n+2&=6\cdot 2^{n-1}=3\cdot 2^n \\ \iff b_n&=3\cdot 2^n-2\end{aligned}$$

よって、$n\geqq2$ において、

$$\begin{aligned}a_n&=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k=1+\sum_{k=1}^{n-1}(3\cdot 2^n-2) \\&=1+3\cdot \dfrac{2(2^{n-1}-1)}{2-1}-2(n-1) \\&=3\cdot 2^n-2n-3\end{aligned}$$

となる。$a_1=1$ より $n=1$ においてもこれを満たす。