• 解決済み

    @Toymaker

    2023/05/23

    2 回答

    この問題の(2)なのですが、解説を読むと2行目でいきなり自分で不等式を作って、それを使って証明しています。(2)で示す不等式のうち、右側は(1)を使えば良いので容易ですが、左側を示すために必要な不等式をどういうふうに考えれば自分で作れるのか教えていただきたいです。0から1で積分して(e-1)/eになる関数を見つけられませんでした。

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    @sHlcNRe46

    2023/05/23

    e−1e=1−1e\dfrac{e-1}{e}=1-\dfrac{1}{e} が見えると、積分区間は 00 から 11 であることから、e−xe^{-x} に 00 と 11 を代入して差をとるのが見えてくるなぁと思いました。

    定積分は差を計算するので、その差の形をイメージできるかが鍵だと思います。

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    削除済みユーザー

    2023/05/23

    x∈(0,1)x \in (0,1) の範囲では x>x2x > x^2 なので e−x<e−x2e^{-x} < e^{-x^2}．

    したがって，

    e−1e=∫01e−xdx<∫01e−x2dx\frac{e - 1}{e} = \int_0^1 e^{-x}dx < \int_0^1 e^{-x^2}dx

    ということだと思います．


    返信(1件)

    @Toymaker

    2023/05/23

    式変形はわかるのですが、この問題が解ける人はそれをなぜ思いつくのかという質問です。自力でそれを思いつける気がしなかったので。

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