写真の問題を慣性力を使って解いてみたいのですが、解説を見ると地上から物体cを見た運動方程式と、滑車pに観測者を置いた時に作れる慣性力を使った式の計３つが載っていました。

滑車 $\mathrm{P}$ から見たおもり $\mathrm{A,B}$ の運動方程式を考える場合は、慣性力を考えるために滑車 $\mathrm{P}$ の加速度が必要です。

滑車 $\mathrm{P}$ とおもり $\mathrm{C}$ の加速度の大きさは等しいので、地面から見たおもり $\mathrm{C}$ の運動方程式を考えればおもり $\mathrm{C}$ の加速度が出ます。

どの系から見ていても物体の速度や加速度は変わりません。見え方が変わるだけです。

代入が何を指しているのかわかりませんが、どの系から見た速度・加速度なのかを意識するとよいと思います。非慣性系で求めたなら慣性系に変換する必要がありますね。

ちなみに、今回はおもり $\mathrm{C}$ と滑車 $\mathrm{P}$ の加速度および張力、おもり $\mathrm{A,B}$ の加速度および張力、の合計 $4$ つの未知数があるため、式は $4$ つ必要です。

そのため、おもり $\mathrm{A,B,C}$ と滑車 $\mathrm{P}$ の運動方程式を考えなければなりませんが、滑車 $\mathrm{P}$ は質量がないので運動方程式はつり合い式になります。