どうして判別式の確認がいらないんですか？

　私も参考書の解答を肯定しようとしたのですが、すぐあとで参考書が間違っていることに気づきました。$\alpha, \beta$ が実数になる範囲、つまり $1 - 3\sqrt{2} \leq p \leq 1 + 3\sqrt{2}$ で

$$\alpha(p) = \frac{1 + p + \sqrt{-p^2 + 2p + 17}}{2},\ \beta(p) = \frac{1 + p - \sqrt{-p^2 + 2p + 17}}{2}$$

の動く範囲を考えてみると、

$$\begin{aligned}(\alpha - 1)^2 &+ (\beta - 1)^2 = 9,\\1 - \frac{3}{\sqrt{2}} \leq \alpha \leq 4,&\ -2 \leq \beta \leq 1 + \frac{3}{\sqrt{2}}\end{aligned}$$

が答えです。参考書に書いてあることが正しいと盲信していたので間違えました。案外信用ならないようです。

すぐにでも報告すれば図書カードゲットできる可能性あり⁉︎

図示するとこういう感じになるのですが、y=xについて対称じゃなくていいんですか？アルファとベータに今大小関係はないのでどちらも対等だと思うように感じてしまいます、何か勘違いしてますか？おそらくアルファ>ベータと最初に仮定したと思うのですが、最後に戻すという操作は必要がないですか？

結構信用高い先生が書いているので慎重に行きたいですお願いします🤲

横から失礼。

解と係数の関係から得られる式が

$$(\alpha-1)^2+(\beta-1)^2=9$$

つまり、点(1,1)を中心とする半径3の円周上の点ですよね。

このことから$\alpha,\beta$は実数であることが言えるのは間違ってないです。

また、実数解の範囲も定義域から[-2,4]であってます。

今思ったのですが、では逆に、必要十分でない式変形だと思うところはどこですか?

例えば、0で割るとか…

正直なところ、実数解持つ二次方程式が与えられたらほとんどの問題で少なからず一回は判別式使っていましたので、必要十分とかはこの点に関しては意識したことがありませんでした。

下の問題の解答1はどこで必要十分がきれているのですか？

この問題との違いがさっぱりわからないです。。。。。。

　自分の間違いを訂正する義務があると思うので遅れながら訂正します。

　問題文の「点 $(\alpha,\beta)$」を順序対と解釈していましたが、順序なしの対なら答えは円周全体で間違いありません。私の浅慮から失礼しました。（間違った情報を流してしまうのが一番心苦しいので、間違いを指摘して下さるのは有難いです）

　$f(p) = (p - 1)^2 + 4$ の問題は、素直に判別式を使えば解ける。今回の問題も判別式を使えば泥くさいながら解ける。けれども、$\alpha(p), \beta(p)$ の媒介変数 $p$ を消去し、$\sqrt{-p^2 + 2p + 17} \geq 0$ の代わりにそれと同値な「$\alpha, \beta$ は実」を直接使った方がスマートに解ける、という話ではないでしょうか？

回答してくださった3人の方のおかげさまで理解できました。Dが0以上になる実数pが存在しないように方程式の形をいろいろ変えて実験してみると、解と係数の関係からpを削除しても実数範囲では成り立たない式が出てくるようでした。