解説お願いします

(1) 円の直径に対する円周角は $90^\circ$ であり、その逆も成り立つ。よって $\angle PCA = 90^\circ$ から、$PA$ は外接円の直径である。すると $\angle PBA = 90^\circ$ となり、$B, F$ は一致する。

(2) 円に内接する四角形の向かい合う角の和は $180^\circ$ である。よって、

$$\angle ABP = 180^\circ - \angle ACP = \angle PCE$$

すなわち $\angle PCE = 75^\circ$。

(3) $\angle BFP = \angle BDP = 90^\circ$。よって、円周角の定理の逆から $B, P, D, F$ は同一円周上にある。

(4) (3) で示したとおり、四点 $B, P, D, F$ は同一円周上にある。よって、円周角の定理より

$$\angle BDF = \angle BPF$$

ここで $\angle BPF = 90^\circ - \angle ABP$ であるから、

$$\angle BDF = 90^\circ - \angle ABP$$

(2) で示したとおり $\angle ABP = \angle PCE$ であるから

$$\angle BDF = 90^\circ - \angle PCE$$

ここで $\angle PCE = 90^\circ - \angle CPE$ であるから

$$\angle BDF = 90^\circ - (90^\circ - \angle CPE) = \angle CPE$$

(3) で示したのと同様にして、四点 $E, P, D, C$ が同一円周上にあることも分かるので、円周角の定理より

$$\angle BDF = \angle CDE$$

この等式は $D, E, F$ が同一直線上にあることを示している。