「組み合わせ論パーフェクトマスター」にある問題について質問です。

　ご指摘のとおり、$a + b, a + c$ がともに $b + c$ の約数だからといって $a + b|a+c$ とは限りません。どのようにしても問題の仮定および背理法の仮定から $a + b|(b + c) - (a + c)$ は導けないように思います。

　率直にいって、その『組み合わせ論パーフェクト』の記述にはおかしな点が散見されます。

・「$A$ の任意の $2$ つの異なる元の和は $B$ の元」としか問題文には書いていない。よって、$B$ の元は必ずしも $A$ の異なる $2$ 元の和としてあらわされるとは限らない。それなのに、解答では $B$ の最大元が $b + c$ としてあらわされるかのように扱っている。

・$a + b | b - a$ からは直ちに矛盾が導けるはずである。それなのに、解答ではその後二行に渡って議論をつづけている。

・「$b - a > 0$ がわかる」と書いている。ところが、それは変数 $a,b$ を導入するときにおいた仮定 $b - a$ を改めて述べているに過ぎない。

などです。

　これは何かおかしいと思って、知り合いの確率論の博士に「この解答はおかしいのではないか？問題文も誤訳されているのではないか？」と尋ねてみました。すると、私と同じく「解答が意味不明」「問題文もおかしそう」と答えがありました。

　$a+b|a+c$ とは限らないというのは正しいです。正しい感覚をお持ちでいらっしゃるので、より良いテキストをお読みになるのがよろしいかと存じます。