縦でごめんなさい。この黄色いところが、計算を進めるとダメだとわかるのですが、「1/(x-1)」の項をどう判断して付け加えれば良いのか、その思考回路を教えてください。

どの形なら積分できるかを頭の中で考えれば良いと思います。

int{2/x－2/x+1－1/(x+1)^2}dx

に注目すると、2/xと2/x+1はxの1次式で1/(x+1)^2だけ2次になっています。

こういうのは低次から順に書いくのがわかりやすいですし、普通ですよね。だから1番上の行で記号ABCを置く時点でそれを見越して分母をかくべきなのです。

つまり、ABのとこの分母を入れ替えても問題ありませんが、ACまたはBCの分母を入れ替えると、計算が合わなくなります。

高一の私の知識での説明で、言葉足らずになったかも知れませんが、ぜひお役立てください。

まず式を見て、部分分数分解しようという思考に至るのはいいと思います。ここで黄色いマーカーにあるように文字を置いてしまうと通分して、値を求めようとした時に、x^2の係数が0になるので、A=0となってしまい、等号が成り立たなくなります。

そこで、どうにかしてx^2の係数に二種類以上の文字が出てくるようにしたいと考えます。分母が一次式で、通分しやすいような形にするには、分母がx-1の分数も登場させれば辻褄が合うことに気付けると思います。