真ん中より下の所でなぜＸ=１で極小値をとるときaの範囲がこうなるのか分からないです

Question

@DoubleExpYui · Accepted Answer

与えられた条件から計算して $$g'(x)=\{3x+(2a+3)\}(x-1)$$ となっていますよね。  ここで、$g'(x)=0$とすれば$g(x)$が極値をとるときの$x$の値が求まります。 $x=1,\dfrac{-2a-3}{3}$ですね。 問題から、$x=1$で極小値をとることが分かっているので、$x=\dfrac{-2a-3}{3}$は極大値をとります。  さて、$g(x)$の$x^3$の係数が正の値なので、グラフを書くと$
earrow\searrow
earrow$というふうになります。  ところで、極値というのはグラフの増減が切り替わるところでの値でしたね。 極小値は$\searrow
earrow$と変化するところ、極大値は$
earrow\searrow$と変化するところの値です。  よって、$\dfrac{-2a-3}{3}\lt 1$となります。  ちなみに、なぜ$=$ではないのかについてですが、$\dfrac{-2a-3}{3}=1$の場合はその点で$
earrow-
earrow$というグラフになるので極値をとりません。そのため、$x=1$で極小値をとるこの問題の場合は不適、ということです。

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与えられた条件から計算して

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