どなたか添削をしてもらいたいです。

①式の$i$は任意だけど、最大値を$M$としたあとの「$a_i=M$とすると」の$i$は存在だから、添え字は変えたほうがいいです。

あと、最大値$M$となる個数で場合分けはいらないので短縮できます。

問題から任意の$i(1\leq i\leq n)$について

$$\tag{1}a_i\leq \dfrac{1}{n-1}\sum_{m=1,m\neq i}^na_m$$

である。

いま、$a_1,\cdots,a_n$の最大値を$M$とする。

$a_j\neq M,a_k=M$となる$j,k$について(1)式より

$$a_k=M\leq \dfrac{1}{n-1}\left(a_j+\sum_{m=1,m\neq j,k}^na_m\right)$$

であるが、$M$は最大値であるから

$$\dfrac{1}{n-1}\left(a_j+\sum_{m=1,m\neq j,k}^na_m\right)\lt M$$

となるので矛盾する。よって$a_j\neq M$となる$j$は存在しえないので、

$$a_1=\cdots=a_n=a(\forall a\in\mathbb{R})\square$$