• 解決済み

    @Rarara

    2022/12/3 13:54

    1 回答

    ∣zn∣=∣z∣n |z^n|=|z|^n は成り立ちますか。nは自然数でzは複素数です。

    補足

    バー(共役複素数解)でも成り立たちますか。


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    ベストアンサー

    ベストアンサー

    @atozkoxo

    2022/12/3 14:27

    あまり自信はありませんが、成り立つような気がします。一応証明をしますが、もし有識の方がいればご指摘ください。


    Proof‾\underline{Proof}


    一般の複素数zzは正の実数rrと任意の実数θ\thetaを用いて

    z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta)

    と書くことが出来る。∣z∣=r|z|=rと書けるので

    ∣z∣n=rn|z|^n=r^n

    また、ド・モアブルの定理から

    zn=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)z^n=r^n(\cos n \theta +i\sin n \theta)

    と記述できるので

    ∣zn∣=rn|z^n|=r^n

    したがって

    ∣z∣n=∣zn∣|z|^n=|z^n|

    （証明終）


    なお、eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\thetaを用いればより簡素に書けると思います。間違いがあればご指摘ください。

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    ありがとうございます。理解できました。

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