自分の解答でも論理が正しいか教えていただきたいです。写真の54番です。

この問題で、最後に恒等式の性質を利用するのですが、それはaまたはbについての恒等式でないと絶対だめですか？

具体的に言うと、自分はこの問題で点Pのx座標をsと設定して、与条件を整理していって、②のyのaとbを、sのみで表しました。その式をsについて整理して、sの恒等式として解きました。実際答えは合うんですけど、なんか少し戸惑いの上で解いたのであんまり自信がないです。

また、もしこの解き方でもいいとするなら、どういった説明を書けばいいと思いますか？

さすがに何の説明もなしにこの方法で解くのはちょっと戸惑います。

教えてくださいお願いします🤲

(あと、ぐちゃぐちゃですが一応自分の回答貼っておきます。)

回答 1件

ベストアンサー

交点 $P$ を $P(s,s^2-2s+2)$ とする。

放物線①、②が直交することから(略)

$a=\text{(略)}$

また点 $P$ は放物線②上の点なので(略)

$b=\text{(略)}$

よって放物線②の式は

$y=\text{(略)}$

これを整理して

$(A)s^2+(B)s+(C)=0$

$s$ の恒等式としてみれば

$\begin{cases}A=0\\B=0\\C=0\end{cases}$

これを解いて

$(x,y)=\left(1,\dfrac{3}{2}\right)$

を得る。 $\square$

って感じでいいかと。

補足

訂正

2行目：放物線①、②「の接線」が直交する

DoubleExpYui 2022/11/8

「aまたはbについての恒等式でないと絶対だめですか？」

見落としてました。
$a,b$ が $s$ の式で表せることから、「 $a,b$ に依存しない= $s$ に依存しない」と考えていいです。
Rarara 2022/11/9

回答ありがとうございます。
変な質問かもしれないんですけど、
この問題では放物線同士が交点を持つという条件により、aとbの条件がつくと思うんですけど、それって恒等式の性質を使うときに影響はないんですか？
DoubleExpYui 2022/11/9

了解しました。
では、放物線①②が交点を持つ条件を考えてみましょう。
すなわち
$x^2-2x+1=-x^2+ax+b$
整理して
$2x^2-(2+a)x+2-b=0$
「交点を持つ＝この等式を満たす $x$ が存在する」なので、判別式 $D$ を使って
$(2+a)^2-4\cdot2\cdot(2-b)\geq0$
このことから、交点を持つとき必要な条件は $a,b$ が互いに依存していることだけなので、上記回答の通り「 $a,b$ に依存しない= $s$ に依存しない」を暗黙のものとしてよいと考えます。

補足
最後補足：問題文の「交点を持つ」＝「判別式 $\geq0$ を満たす $a,b$ である」ことを前提に考えてよい。
Rarara 2022/11/9

お礼

あっててよかったです。ありがとうございました。