解決済み

定積分の性質で、下のような式があります。

abf(x)dx=baf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) dx = -\int_{b}^{a} f(x) dx

不定積分と定積分の関係式からはそう導けますが、定積分そもそもの定義からは、上端と下端を反対にしても面積は同じなのではないでしょうか。

ベストアンサー

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「負の面積」ということでしょうね。


積分区間で囲まれた領域のことを「面積(正)」というなら、絶対値をつける必要があります。


S=abf(x)dxS = \left| \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right|

返信(2件)

定積分の上端と下端を反対にすれば、負の面積になる、ということであっているでしょうか。

y=sin(x)y = \sin(x)00 から 2π2 \pi まで積分すると 00 になりますよね。


一方で y=sin(x)y = \sin(x) のグラフをその定義域で書いたとき、 xx 軸との間で囲まれる面積は明らかに 00 ではないですよね。

x=πx = \pi の前後で yy の符号が変わりますが、「面積」といったら π<x<2π\pi < x < 2 \pi の区間は xx 軸について反転して考えると思いますが、これこそが私が「負の面積」と呼んだ理由です。

(正確な数学用語ではないので解答では使わない方が良いと思います。)


そういうことです。

質問者からのお礼コメント

質問者からのお礼コメント

とてもよく理解できました 符号付面積はもともと知っていました

そのほかの回答(1件)

積分は符号付き面積です。

詳しくは調べてみてください!

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