高次式の因数分解でαを代入したときに0となる値は、あくまで候補であって、必ずしも太字で書いてある公式から導いた数字を代入

Question

高次式の因数分解でαを代入したときに0となる値は、あくまで候補であって、必ずしも太字で書いてある公式から導いた数字を代入したときに式が0になるというわけではないということですか。それとも、太字の公式に当てはめた値は、代入して必ず0になる値であるということでしょうか。

それと一応確認なのですが、約数とは1ももちろん含めていますか？

言葉が拙く、伝わりにくいかもしれません。ごめんなさい。

@loge_1 · Accepted Answer

ようは

$ax^3+bx^2+cx+d=(px-q)(lx^2+mx+n) =plx^3+(pm-ql)x^2+(pn-mq)x-qn$

で係数が全て整数なら $a$ は $p,l$ を約数にもつし、 $-d$ も $q,n$ を約数にもつから

$α = \dfrac{q}{p} = ±\dfrac{dの約数のどれか}{aの約数のどれか}$

が成り立つよねって話です。(説明雑ですみません)

なので係数が全て整数という条件がなければ成り立たないし(分数などを含めればいくらでもあるため)、全て整数なら1だってもちろん含まれます。

補足

勘違いのないよう補足しておきますが、

$α = \dfrac{q}{p} = ±\dfrac{dの約数のどれか}{aの約数のどれか}$

というのは正確には

$問題の式と条件が成り立つならば±\dfrac{dの約数のどれか}{aの約数のどれか}が\dfrac{q}{p} となる$

という意味で約数のどれでも成り立つという意味を表しているわけでは無いです。

@YouAreMath · Answer

ただ、有理数解を必ず持つわけではないので注意。

もしその高次式が(=0で)有理数解を持つなら、その有理数はその青チャートの太字のものを全て探せば必ず見つかると思います。