教科書レベルの問題だとは思いますが一旦見ないで今までの知識を使ってとこうと思い試みたのですが答えが合いませんでした。α > 1、β > 1から移項しなければいけない理由はなんですか。教科書に載っているようにやらなければ答えが合わない理由が分かりません。

③の範囲を導出する過程に誤りがあるということですね。それは

α＞1かつβ＞1 …(A) と

αβ＞1…(B)

が同値でないからです。反例を考えてみましょう。

α=0.5,β=3は(B)を満たしますが(A)を満たしていません。このように安易に不等式を掛けるのは危険な場合が多いです。本解では「1との差の積が正」という条件を用いて「2解がともに1より大1かともに1より小」に絞り､②の範囲と合わせることで両方1より大きい､という結論を導いています。

試しにいくつかのpに対してα,βを求め､1との大小関係を考えてみましょう。

②,③との対応が分かりやすくなると思います。