二次方程式において複素数の２重解は存在しますか？

私も全く同じ問いを以前考えたことがあります。

先に、細かい点で申し訳ないのですが質問文を修正させてください。質問の意図は「$x=2$などの実数の重解は存在するが、$i$や$5-2i$といった『虚数』を重解に持つ2次方程式は存在するか」ということだと思います。（実数は複素数の範囲に含まれるので、この質問だと複素数であればなんでもOK、つまり実数でもいいということになってしまいます）。ですからそのような意図であれば質問文として「〜〜　虚数の重解は存在しますか」が適当です。

回答です。

整数係数であれば存在しません。

2次方程式の解の公式をよくみてください。

$$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$

$$\text{ただし}D=b^2-4ac$$

2次方程式の解として虚数が出てくるのはどんなときでしたか？

判別式 $D$ が負になったときでしたね。

解の公式には$\pm\sqrt{D}$という部分がありますから、$D$が$0$でない限り、ここで2つの異なる解が生まれてしまいます。

よって整数係数の2次方程式に虚数の重解は存在しません。

ですが、係数が複素数の範囲であれば話は別です。$x=\alpha, \beta$ を解に持つ2次方程式の作り方は簡単で、

$$(x-\alpha)(x-\beta)=0$$

という2次方程式を作れば良いですね。それでは$x=i$を重解にもつ2次方程式を作ってみましょう（スクロールする前に手を動かしてみてください）

$x=i$が重解ですから、

$$(x-i)^2=0$$

とすれば良いですね。展開してやると

$$x^2-2i+1=0$$

となって係数に虚数があらわれました。

まとめです。

整数係数の2次方程式では虚数の重解は存在しません（実は3次以上でも同様です）。

複素数係数では虚数を重解に持つような2次方程式も作ることができます。

最後に練習問題です。ご査収ください

$$x=1-\sqrt{2}i$$を重解にもつ2次方程式を一つ作れ。