三角関数の合成についての質問です。三角関数の合成の公式は加法定理と恒等式で導くことができるレベルの理解はしたのですが、どうしても本質的というか数式の言っている意味が理解できません。これはサインとコサインを一つの形にまとめるためのための手段として割り切っていいのでしょうか。誰か三角関数の合成を和訳（数式の言っている意味を説明）できる人はいらっしゃいますか

$A,B$ の少なくとも一方は $0$ でないとし，$C = \sqrt{A^2 + B^2}$ とおきます

$xy$ 平面上に原点 $O$ を中心とする半径 $C$ の円を描き，その周上に点 $P(A,-B)$ をとります

円周上の点 $P(C\cos t, C\sin t)$ から直線 $OP$ へ下ろした垂線の足を $P'$ として，線分 $OP'$ の（符号つきの）長さを $2$ 通りに計算します

【1】

$k$ は $\cos k = A$，$\sin k = B$ によって決まる定数とする

求める長さは明らかに

$$C\cos(t + k)$$

である

【2】

$X$ を任意の点の位置ベクトルとし，$X$ から直線 $OP$ に下ろした垂線の足の位置ベクトルを $f(X)$ と書く

そのとき，任意のベクトル $X,Y$ に対して

$$f(X + Y) = f(X) + f(Y)$$

が成り立つことに注意する（一言でいえば射影は線型性をもつ）

さて $P_x(C\cos t, 0)$，$P_y(0, C\sin t)$ とすると

$$f(P) = f(P_x + P_y) = f(P_x) + f(P_y) = A \cos t - B \sin t$$

となる

【1】【2】から

$$C\cos(t + k) = A\cos t - B\sin t$$

これは三角関数の合成を図形的に解釈するひとつの方法です

でも単に $2$ つの波を $1$ つの波に合成する計算法，と捉えた方が問題を解くときは実際的かもしれません