$a,b,c$を正の定数とする.次の問いに答えよ.

　(1)では、$x^2+y^2$について、$x^2$と$y^2$が共に正より、相加相乗平均の関係式から、

　$$x^2+y^2≧2xy$$

が作れます。

　ここで、等号成立条件は$x^2=y^2$、すなわち、$x=y$となります。

　実際に$a/x+b/y=1$について、$x=y$となるとき、

　$(a+b)/x=1$で$x=a+b$、つまり、$x=y=a+b$で$x^2+y^2$は最小値をとります。

　よって、(1)の答えは$2(a+b)^2$となります。

　本題の(2)ですが、(1)では最小値を求めたい式に相加相乗平均を用いました。しかし、3変数となった

　　$$x^2+y^2+z^2$$

では同様に全ての項が正より、式全体で一度に相加相乗平均を用いてしまうと、

　　$$x^2+y^2+z^2≧3∛(xyz)^2$$

となってしまい、大変なので、

　$x^2+y^2$

　$y^2+z^2$

　$z^2+y^2$

で、それぞれ相加相乗平均を用いて、足し合わせます。すると、

$$2x^2+2y^2+2z^2≧2xy+2yz+2zx$$

とできます。これを両辺2で割ることで、

$$x^2+y^2+z^2≧xy+yz+zx$$

とでき、等号成立条件は(1)と同様にして$x=y=z$となります。

このとき、$$a/x+b/y+c/z=1$$において、x=y=zを満たす正の解があるか確認すると、$x=y=z$より、$$(a+b+c)/x=1$$で、$$x=y=z=a+b+c$$となるので、あとは代入して、求める最小値は$3(a+b+c)^2$となります。

　おそらくこんな感じでしょうか？