この問題の(2)で、模範解答では、|cosθ|<1/2(m=2)、|cosθ|>1/2(m=1)、|cosθ|=1/2(不適)という場合分けをしていたのですが、存在することを示すだけなら|cosθ|<1/2のときm=2となるので存在すると記述するだけではなぜダメなのでしょうか。よろしければ教えて頂きたいです。

証明するべき命題は「$\alpha$ がどんな値をとる場合にも、$|a_m| > 1$ となる $m$ が存在する」です。

同値な命題にいい換えると「$\theta$ がどんな値の場合にも、$|\cos(m\theta)| > 1/2$ となる $m$ が存在する」です。

「$|\cos \theta| < 1/2$ の場合、$m = 2$ とすれば $|\cos(m\theta)| > 1/2$ が成立」を示すだけでは不十分です。

「$|\cos \theta| > 1/2$ の場合、$m = 1$ とすれば $|\cos(m\theta)| > 1/2$ が成立」

「$|\cos \theta| = 1/2$ の場合、$m = 3$ とすれば $|\cos(m\theta)| > 1/2$ が成立」

まで示せば全場合を尽くせます。

それで初めて「$\theta$ がどんな値の場合にも……」という命題の成立を示せたことになります。