答えだけでもいいので教えてください🙇‍♀️

($\rm{i}$) 速度は $y'(t)$, 加速度は $y''(t)$ で与えられます.(これは速度, 加速度の$\textbf{定義}$によるものです.) これを計算すると

$$v_y(t) = y'(t) = 2g(1-e^{-\frac{1}{2}t}) \\a_y(t) = y''(t) = ge^{-\frac{1}{2}t}$$

となることがわかります. (この ($\rm{i}$) は微分に関する公式を用います. 後の ($\rm{ii}$), ($\rm{iii}$) についても数学の知識を要します.)

($\rm{ii}$) は ($\rm{i}$) で計算した $v_y$ のグラフを書いてください. $v_y(0)=0$, $v_y(20)=2g(1-e^{-10})$ で, $v_y$ は単調増加なので, 問題の設定のとおり横軸を $t$, 縦軸を $v_y$ として, $0\leq t \leq 20$ の範囲で $(0,0)$ と $(20,2g(1-e^{-10}))$ を通る右上がりのグラフを書いておけば十分だと思います.

($\rm{iii}$) 普通に極限を求めて $$\lim_{t\to\infty}v_y(t)=2g$$です. これにより, 十分長い時間がたった後は, 物体はほぼ一定の速さ $2g\,\rm{m/s}$ で水中に沈んでいくと解釈できます.

($\rm{iv}$) 運動方程式を用いて $f$ が $f = \Box \,v_y$ のように $v_y$ の定数倍で書けることを示してください. 物体の質量は $1\, \rm{kg}$ (したがって図の $m=1$), 働く力は図にある通り正の方向に重力 $1\cdot g = g$ が, 負の方向に抵抗力 $f$ が働いていますから, 運動方程式($ma=F$)を考えると

$$1\cdot a_y(t) = g - f$$

となります. したがって

$$f = g - a_y(t) = g - ge^{-\frac{1}{2}t} = g(1-e^{-\frac{1}{2}t}) = \frac{1}{2}v_y(t)$$

であることがわかります. これで $f$ が $v_y$ に比例することがわかりました.