解決済み

数学の質問です。


極方程式に就いてですが、代入するθ\thetaに因っては、rrが負になることがありますよね。rrが負の場合、(r,θ)(r,\theta)(r,θ+π)(-r,\theta+\pi)と定義されますが、rrの正負が切り替わる瞬間のθ\thetaでグラフは常に連続なのでしょうか?幾つか適当に極方程式を作ってグラフを書いて見ると全部のグラフで連続だったのですが、何かう〜んと言う感じです。r=2cosθr=2\cos\thetaのような簡単な方程式でも、グラフを書いて見ると確かに連続なのですが、上手く言えないですが、納得行かない感じがします。

なるべく詳しくご説明頂けたらと思います。極座標に未だ慣れて居ないもので…


回答宜しくお願い致します。

ベストアンサー

ベストアンサー

r=f(θ)=0r=f( \theta )=0となるようなθ\thetaにおいて、f(θ)f( \theta )が連続の定義をみたすときを考えるとしましょう

問題は、r>0r>0の部分とr<0r<0の部分でグラフの書き方が変わってしまうと、グラフが連続であることを保証できないのでは?ということでしょうか



連続であることを示すのはそこまで難しくないです


極方程式の点のプロットの仕方は3つあります

r>0r>0の部分では点(r,θ)(r, \theta )をそのままプロット

r=0r=0は極をプロット

r<0r<0の部分では点(r,θ+π)(-r, \theta + \pi )をプロット

f(θ)f( \theta )が連続の定義を満たすなら、f(θ)=0f( \theta )=0となるθ\theta付近では00に限りなく近づいていきます

なのでグラフも極にチ被くことになり、連続になります



これよりちょっと難しくなりますが、f(θ)=0f( \theta)=0となるようなθ\thetaにおいてf(θ)f( \theta )が微分可能であるとき、r=f(θ)r=f( \theta )のグラフは極付近でもなめらかになるということも証明することができます



質問の意図と違ったらすいません

返信(2件)

成程、何となく分かりました。

質問の意図は多分ontama_udonさんのおっしゃっているような感じで合って居ると思います。

多分、と言うのは極座標を今まで殆ど遣って来なくて、いざ遣って見ると複素数平面の時と違い、r<0r\lt0の時も考えると言うことに少々混乱して居て、何かモヤモヤしていて、自分でも何が分からないのか分からないと言う感じです…

一応、何となく分かったのですが、念の為、また聞きたいことがあるかも知れないので、返信出来るように、BAとさせていただくのはもう少しお待ち下さい🙇

そのほかの回答(0件)

関連する質問

もっとみる