解決済み

x+y+z+w=10x + y + z + w = 10

を満たす0以上の整数の組(x,y,z,w)は何通りという問題はどうやって求めますか?棒と球でイメージするやり方以外の方法を教えてください

ベストアンサー

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正直、棒と球のやり方が一番シンプルではある。


それ以外でとなると、例えば xxii とすれば、

y+z+w=10i(0i10)y+z+w=10-i\quad (0\leqq i\leqq10)

となり、さらに yyjj とすれば、

z+w=10ij(0i10,0j10i)z+w=10-i-j\quad (0\leqq i\leqq10,0\leqq j\leqq 10-i)

となり、さらに zzkk とすれば、

w=10ijk(0i10,0j10i,0k10ij)w=10-i-j-k\quad (0\leqq i\leqq10,0\leqq j\leqq 10-i,0\leqq k\leqq10-i-j)

となり、ww はただ一通りとなるので、

i=010j=010ik=010ij1\sum_{i=0}^{10}\sum_{j=0}^{10-i}\sum_{k=0}^{10-i-j}1

としてやればできないことはないけどめんどくさい…。


あとは表に落とし込むとか。これも書くのめんどくさい。

返信(2件)

\sum 使える理由:ただの数え上げの和の計算を \sum で書いてるだけです。

わかりやすく文字と合計減らしてみます。

例えば x+y=3x+y=3 のとき、xx が決まれば yy11 通りしかないので

k=031=4\sum_{k=0}^{3}1=4

とかけます。

これは

(x,y)=(0,3),(1,2),(2,1)(3,0)(x,y)=(0,3),(1,2),(2,1)(3,0)

44 通りのことを表します。


文字を 11 つ増やして x+y+z=3x+y+z=3 のとき、xx が決まれば yy の取れる値の範囲が決まり、その範囲で数を決めてやれば zz11 通りしかないので

j=03k=03j1=j=03{1+(3j)}=10\sum_{j=0}^{3}\sum_{k=0}^{3-j}1=\sum_{j=0}^{3}\{1+(3-j)\}=10

とかけます。

これは

(x,y,z)=(0,0,3),(0,1,2),(0,2,1),(0,3,0),(1,0,2),(1,1,1),(1,2,0),(2,0,,1),(2,1,0)(3,0,0)\begin{align*}(x,y,z)=&(0,0,3),(0,1,2),(0,2,1),(0,3,0),(1,0,2),\\&(1,1,1),(1,2,0),(2,0,,1),(2,1,0)(3,0,0)\end{align*}

1010 通りのことを表します。


こんな感じ。

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