数学Ⅲ微分法の最初です。「 f (x) = | x-1 | は x=1 で微分可能でないことを証明せよ」という問題

Question

数学Ⅲ微分法の最初です。

「　f (x) = | x-1 |　は　x=1　で微分可能でないことを証明せよ　」

という問題では微分可能だけを調べているのですが、

「　x < 1　のとき　f (x) = x²　,　x ≧ 1　のとき　f (x) = 2x-1　　で表される次の関数は　x=1　で微分可能であることを証明せよ」　

という問題では、　x=1　で連続であることを証明したあとに、微分可能であることを証明していました。

この違いは何でしょうか。教えてください。

@Hazakura_haru · Answer

「関数f(x)がある区間で微分可能ならば、その区間でf(x)は連続」

という定理が成り立ちます。

この定理の対偶を取ると、

「関数f(x)がある区間で連続でないならば、その区間で微分可能でない」

も成り立ちます。

この問題では、 $x=1$ での微分可能性を示せとあるので、 $x=1$ で連続でなければそもそもこの問題の前提が覆ります。また、 $x=1$ で連続でも、 $x=1$ で微分可能とは限りません。1つ目の問題がその例です。

なので、2つ目の問題で $x=1$ での連続性を確認する理由は特に無いと思います。