数学の質問です。

$n$は整数とする。$n^2+3n-1$は$5$の倍数でないことを証明せよ。

この問題に就いて、質問が2つあります。

①解答では整数$k$を用いて$n$を$5k$、$5k+1$、$5k+2$、$5k+3$、$5k+4$と表して解いて居たのですが、$n=5k$を$n^2+3n-1$を代入すると、$25k^2+15k-1$となりますが、解答ではこれを$5(5k^2+3k-1)+4$と変形して居たのですが、$5(5k^2+3k)-1$と変形するのはダメでしょうか？$5(5k^2+3k)-1$でも$5$の倍数でないことを示せて居ると思うのですが…

②解答で$n$を$5k$、$5k+1$、$5k+2$、$5k+3$、$5k+4$と表して居たのはなぜでしょうか？例えば、$n$を$2k$、$2k+1$と表したり、$3k$、$3k+1$、$3k+2$と表したりしても、$n$が全ての整数であることを表せて居ると思うのですが…

解答宜しくお願いします。