数学の質問です。 nは整数とする。n^2+3n-1は5の倍数でないことを証明せよ。この問題に就いて、質問が

数学の質問です。

n

は整数とする。

n^2+3n-1

は

5

の倍数でないことを証明せよ。

この問題に就いて、質問が2つあります。

①解答では整数

k

を用いて

n

を

5k

、

5k+1

、

5k+2

、

5k+3

、

5k+4

と表して解いて居たのですが、

n=5k

を

n^2+3n-1

を代入すると、

25k^2+15k-1

となりますが、解答ではこれを

5(5k^2+3k-1)+4

と変形して居たのですが、

5(5k^2+3k)-1

と変形するのはダメでしょうか？

5(5k^2+3k)-1

でも

5

の倍数でないことを示せて居ると思うのですが…

②解答で

n

を

5k

、

5k+1

、

5k+2

、

5k+3

、

5k+4

と表して居たのはなぜでしょうか？例えば、

n

を

2k

、

2k+1

と表したり、

3k

、

3k+1

、

3k+2

と表したりしても、

n

が全ての整数であることを表せて居ると思うのですが…

解答宜しくお願いします。

回答 1件

ベストアンサー

jinichik 2024/8/29

①変形した式の最後の項は５で割った余りを表すので、正の整数を使います。

②n を 2k や 3k で表すと、k^2 の項や k の項を 5 で括ることができなくなります。

kakko_pn 2024/8/29

①確かに $5$ の倍数は $5$ で割り切れますが、これは飽くまで倍数の性質で、 $5(5k^2+3k)-1$ を商と余りの考え方ではなく、倍数の定義「 $2$ つの整数 $a$ 、 $b$ に就いて、或る整数 $k$ を用いて、 $a=bk$ と表される時、 $a$ は $b$ の倍数である」から考えると、 $5(5k^2+3k)-1$ はこの定義を満たさないので $5(5k^2+3k)-1$ は $5$ の倍数でないと言えると思うのですが…
② $5$ で括れないならそれはそれで $5$ の倍数でないと言えるのではないでしょうか？
jinichik 2024/8/30

①解答は、元の式を「5の倍数 + 4」という形に変形することで、5で割った余りが明確に「4」であることを示しています。もちろん「５の倍数 - 1」という形でも、５の倍数でないことを示すことができます。

②今回の証明のポイントは、元の式を「５の倍数 + 余り」の形に変形することにあります。n を 2k や 3k で表すと、元の式を「５の倍数 + 余り」の形に変形することができなくなります。
kakko_pn 2024/8/30

①成程。どちらでも $5$ の倍数でないことを示せるんですね。因みに、どちらの方がより良いとかはありますか？それとも、別にどちらでも大丈夫なのでしょうか？
②例えば $n^2+3n-1$ に $n=2k,2k+1$ を代入すると、それぞれ $4k^2+6k-1,4k^2+10k+3$ となりそれぞれ $5\cdot(-1)+4k^2+6k+4,5\cdot2k+4k^2+3$ と変形出来、この変形でも「 $5$ の倍数 $+$ 余り」と言う形に変形出来るのですが、これでは $5$ の倍数でないことを示せたことにはならないのでしょうか？
jinichik 2024/8/30

①どちらでも大丈夫です。
②今回の変形の場合、「５の倍数 + 余り」の「余り」の部分は定数項（具体的には１，２，３，４のどれか）である必要があります。
kakko_pn 2024/8/30

①分かりました。ありがとうございます。
②確かにそうですね…余りの部分に定数以外が入って居ると、余りの部分が $5$ の倍数になる可能性もあるんですよね…気付きませんでした。ありがとうございます。
kakko_pn 2024/8/30

お礼

理解出来ました。
ありがとうございます！

数学の質問です。

回答 1件

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