数学Ⅲの、関数方程式の質問です。

関数$f(x)$において、すべての正の数$x$、$y$に対して、$f(xy)=f(x)+f(y)$が成り立ち、$f'(1)=a$（$a$は定数）であるとき、次の問いに答えよ。

(1)$f(1)$を求めよ。

(2)$f'(x)$を求めよ。

(3)$f(x)$を求めよ。

問題集の答えでは、(3)の答えは$f(x)=a \log x$となっていました。

しかし、この問題では$x<0$のときについて言及していないので、$f(x)=a \log |x|$でも良い気がします。

どうでしょうか。教えていただけると幸いです。