解決済み
kakko_pn

数学の質問です。

∫log⁡∣x∣dx\displaystyle \int \log|x|dx

この不定積分が分からないので教えて下さい。

回答宜しくお願いします。

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回答 1件

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退会したユーザー

∫udv=∫udvdxdx=uv−∫vdudxdx=uv−∫vdu\newcommand{\de}{\mathrm{d}} \int u \de v= \int u \frac{\de v}{\de x} \de x= uv - \int v\frac{\de u}{\de x} \de x= uv - \int v \de u

に注意します。


x>0x > 0 の場合，上において u=log⁡x, v=xu = \log x,\ v = x と見ると

∫log⁡∣x∣dx=∫log⁡xdx=xlog⁡x−∫xd(log⁡x)=xlog⁡x−∫xx−1dx=xlog⁡x−x\newcommand{\de}{\mathrm{d}}\begin{aligned} \int \log|x| \de x &= \int \log x \de x \\&= x \log x - \int x \de(\log x) \\&= x \log x - \int x x^{-1} \de x \\&= x \log x - x\end{aligned}

ここで 33 つ目の等号は d(log⁡x)dx=x−1\newcommand{\de}{\mathrm{d}} \dfrac{\de(\log x)}{\de x} = x^{-1} から d(log⁡x)=x−1dx\newcommand{\de}{\mathrm{d}} \de(\log x) = x^{-1} \de x であることによります。


x<0x < 0 の場合も同様に，

∫log⁡∣x∣dx=∫log⁡(−x)dx=xlog⁡(−x)−∫xd(log⁡(−x))=xlog⁡(−x)+x\newcommand{\de}{\mathrm{d}}\begin{aligned} \int \log|x| \de x &= \int \log(-x) \de x \\&= x \log(-x) - \int x \de(\log(-x)) \\&= x \log(-x) + x\end{aligned}

以上をまとめて，

∫log⁡∣x∣dx=xlog⁡∣x∣−∣x∣+(任意定数)\newcommand{\de}{\mathrm{d}} \int \log|x| \de x = x \log|x| - |x| + (任意定数)

が得られます。


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  • kakko_pn

    回答ありがとうございます。


    私もkagomekagomeさんと同じ意見なのですが、私の持って居る問題集ではどうやらxlog⁡∣x∣−x+Cx\log|x|-x+Cとなっている見たいで…これはなぜなのでしょうか?（xxの定義域は全ての実数で合って居ると思います。）

  • 退会したユーザー

    計算を間違えました（いま起きる直前，積分結果 [に適当に定数を足したもの] が奇関数になっていないのはおかしいじゃないかと思ったところです。）

    ∫log⁡(−x)dx=xlog⁡(−x)−∫xd(log⁡(−x))=xlog⁡(−x)−∫x(−x)−1(−1)dx=xlog⁡(−x)−x\newcommand{\de}{\mathrm{d}}\begin{aligned} \int \log(-x) \de x &= x \log(-x) - \int x \de(\log(-x)) \\&= x \log(-x) - \int x (-x)^{-1} (-1) \de x \\&= x \log(-x) - x\end{aligned}

    と改めれば正しい答えが求まります。

  • kakko_pn

    すみません、そもそもkagomekagomeさんの回答の一番上の式の意味が良く分からりません…何となく部分積分法の話をして居るのかなと言うのは分かるのですが、どう変形して居るのか分からないです…自分で部分積分法を使って解いたら、xlog⁡∣x∣−∣x∣+Cx\log|x|-|x|+Cになってしまいました…


    x<0x \lt 0の時

    ∫log⁡∣x∣dx\displaystyle \int \log|x|dx

    =∫log⁡(−x)dx\displaystyle =\int \log(-x)dx

    =xlog⁡(−x)−∫x1−xdx\displaystyle =x\log(-x)-\int x \frac{1}{-x}dx

    =xlog⁡(−x)−∫−1dx\displaystyle =x\log(-x)-\int-1dx

    =xlog⁡(−x)−(−x)+C\displaystyle =x\log(-x)-(-x)+C

    =xlog⁡∣x∣−∣x∣+C\displaystyle =x\log|x|-|x|+C

  • kakko_pn

    あれ?

    これlog⁡(−x)\log(-x)の微分間違えて居ます???

  • 退会したユーザー

    log⁡(−x)\log(-x) の微分は

    dlog⁡(−x)dx=dlog⁡(−x)d(−x)⋅d(−x)dx=1−x⋅(−1)\newcommand{\de}{\mathrm{d}} \frac{\de \log(-x)}{\de x}= \frac{\de \log(-x)}{\de(-x)} \cdot \frac{\de(-x)}{\de x}= \frac{1}{-x} \cdot (-1)

    ですね。これは自分も符号を間違えていました。


    一番上の式は，22 番目の等号で部分積分，1,31,3 番目の等号で置換積分を使っています。置換積分によって少し見た目を変えた部分積分の公式と言ってもいいです。この形の公式を使わずに

    ∫log⁡xdx=∫log⁡xdxdxdx=xlog⁡x−∫xd(log⁡x)dxdx\newcommand{\de}{\mathrm{d}}\begin{aligned} \int \log x \de x&= \int \log x \frac{\de x}{\de x} \de x \\&= x \log x - \int x \frac{\de(\log x)}{\de x} \de x\end{aligned}

    と直接変形もでき，こちらの方があるいは分かりやすいかも知れません。


  • kakko_pn

    分かりました!ありがとうございます!

  • kakko_pn
    お礼

    大変助かりました!!!

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