数学の質問です。

積分に就いてですが、例えば次の様な計算をする時、

$\displaystyle \int_{1}^{4}\sqrt{x}dx$

$\displaystyle =\left[\frac{2}{3}x\sqrt{x}\right]_{1}^{4}$

とすると思いますが、 $2$ 行目で $\displaystyle =\frac{2}{3}\left[x\sqrt{x}\right]_{1}^{4}$ とするのは数学的に大丈夫なんでしょうか？どちらも計算結果は等しいですが、 $\displaystyle \left[ \: \right]$ の中にはインテグラルの中の被積分関数の原始関数が入るので、 $\displaystyle =\frac{2}{3}\left[x\sqrt{x}\right]_{1}^{4}$ とすると $\sqrt{x}$ の原始関数が $x\sqrt{x}$ になってしまうのではないかと心配です(^_^;)

回答宜しくお願いします。

ベストアンサー

@Enigmathematics

2024/2/25 16:32

とてもいい質問だと思います、これは定積分の定義にある通り大括弧の中に原始関数丸々入っているので、今回のように定数等を外に出すということは意味を変質させてしまい、あまり良くないと思います。まぁ、定数を外に出したいなら積分する前の関数に定数の逆数を掛けたりして関数自体を変えないといけませんね💦

返信(5件)

@kakko_pn

2024/2/25 18:17

やっぱり意味が変わっちゃいますよね、、、

でも、問題を解いて居る時に偶然解説で以下の様な変形を見付けて終いしました、、、

〜前略〜

$\displaystyle =0-\int_{0}^{1}\frac{(x-1)^5}{5}dx$

$\displaystyle =-\frac{1}{5\cdot6}\left[(x-1)^6\right]_{0}^{1}$

〜後略〜

$\displaystyle \frac{1}{5}$ が括弧の外に居るのは変形を $1$ 行飛ばした（載せて居ない）と考えられますが、 $\displaystyle \frac{1}{6}$ が括弧の外に居るのは原始関数的？に考えておかしいですよね、、、実際は括弧の外にある中にあると言うのはきにしないものなのでしょうか？