数学の質問です。

$\displaystyle \log(x+2)$ の積分に就いてです。

自分は部分積分ではなく、置換積分のプチ公式？（ $\displaystyle \int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$ ）を使って以下の様に直接変形したのですが、

$\displaystyle \int\log(x+2)dx=(x+2)\log(x+2)-(x+2)+C$

余計な $-2$ が出て来て終います。 $-2$ を無視して次の行に $\displaystyle =(x+2)\log(x+2)-x+C$ と書くのは数学的に大丈夫なのでしょうか？それともやっぱり積分定数をもう1つ用意した方が良いのでしょうか？

回答宜しくお願いします。

回答 1件

ベストアンサー

London 2024/2/23

$-2$ を無視するのは、少しだけ不親切な記述になるかも知れないので、次のように書くと良いと思います。

「〜 $=(x+2)log(x+2)-(x+2)+C.$

ここで、 $-2+Cを改めてC$ と置けば、

$∫log(x+2)dx=(x+2)log(x+2)-x+C$ .」

(logの字体がおかしくてすみません。どうやったら直せるんでしょうか？)

$C-2をC$ と置き直しても良い数学的の理由は、{ $C-2|C∈ℝ$ }={ $C|C∈ℝ$ }が成り立つことにあります。積分定数は、任意の定数を表せるならなんでも良いということです。

kakko_pn 2024/2/23

回答ありがとうございます！
「 $−2+C$ を改めて $C$ と置けば、」と書けば良いのですね。
自分でもちょっと調べて見たのですが、「 $−2+C=C^{'}$ として、」として居るものもあったのですが、どちらでも構わないのでしょうか？
kakko_pn 2024/2/23

（字体の方に就いてです。
数学で使う用語？などはその用語の前に\を入れれば斜体として表示されなくなります。\log\sin\cos\alpha等々、、、）
ドル\logドル
→ $\log$

補足
回答を入力する時、欄？枠？の下の方に青いカメラのマークと $\underline{数式の書き方}$ と言うボタンがありますが、 $\underline{数式の書き方}$ を押して頂ければ、 $\KaTeX$ の使い方に就いて詳しい説明がありますよ！
London 2024/2/23

字体について教えてくださって、ありがとうございます。使い方をよく見ておけばよかったですね。わざわざすみません。
「-2+C=C’として、」というのもよく見る書き方なので、好みですね。どちらを使っても、意味を誤解されるような恐れはないので大丈夫です。記号は伝われば良いんです。
kakko_pn 2024/2/23

成程成程！分かりました！ありがとうございます！
kakko_pn 2024/2/23

お礼

ありがとうございます！！！