数学の質問です。

高校では、分かり易さを求めるために順番を変えて終ったがためにやっぱり、或る程度の齟齬が生じますよね、、、

$$\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$$

が微分と積分が逆の計算であることを示して居る理由が分からないのですが、これは高校生にでも理解出来ますか？

数学における逆演算は、大抵「ある操作$A$によって変換されたものを再び元に戻す操作$A^{-1}$」の事です。

この式は、関数に積分(操作$A$)を施したものが、微分によって元の関数に戻ることを表しているので、微分が$A^{-1}$になっていると言えるわけです。

他にも$1\cdot a\cdot b=1$の時、$b$を$a$の逆数と言ったり、

$g(f(x))=x$となる時、$g(x)$を$f(x)$の逆関数と言ったりすることから、逆の意味合いが分かるかもしれません。

成程、逆演算とはそう言う操作を言うんですね。

でも、自分は逆の意味合いが分からないと言うよりは微分積分学の基本定理が微分と積分が逆演算であることを示して居る理由が分からないと言うか、寧ろ逆演算であることを示せて居ない様なきがするんです。具体的に言うと、ある関数の原始関数を求める操作（不定積分）をしてから導関数を求める操作（微分）をすると元に関数に戻る、つまり

$$\displaystyle \frac{d}{dx}\int f(x)dx=f(x)$$

だと微分と積分が逆演算だなと分かるのですが、質問欄に示した様な微分積分学の基本定理だと定積分なので、原始$\bold{関数}$を求める操作ではなく、具体的な$\bold{値}$（＝面積）を求める操作をしているので、（確かに計算をすると最終的に元の$f(x)$の形にはなりますが、）微分と積分が逆演算だと言うことを示せて居ないんじゃないかと思ったんです。

私が言いたいことは伝わりましたでしょうか？語彙力がなくてすみません💦

つまり、自分は微分積分学の基本定理が不定積分ではなく、定積分で表されて居ることに違和感を感じて居るんです。

もっと要約すれば、「関数$\ce{->[操作(不定積分)]}$ $関数'$ $\ce{->[操作(微分)]}$（元の）関数」であれば、微分と積分が逆演算だと分かるのですが、「関数$\ce{->[操作(定積分)]}$ $値$ $\ce{->[操作(微分)]}$（元の）関数」だと、$1$回目の操作で求めて居るのが関数ではなく、値なのでそこに違和感を感じて居ると言うことです。

長くなって終いすみません💦

なるほど、原始関数を求める操作である不定積分の方が値を求める定積分を使うよりいいということですかね？

ポイントは2つです

①定積分を使っても、不定積分を使っても本質的に変わらない。

②不定積分は原始関数を求める操作ではない

①の説明です

高校での不定積分の定義は微分して元に戻る関数を求めることでしたが、

大学流の不定積分の定義は、

$$\int f(x)dx=\int^x_af(t)dt(+C)$$

です。これを見れば、微積分学の基本定理に不定積分を使っても定積分を使っても同じであることが分かると思います。

②です

原始関数の定義が何かというと、微分して元に戻る関数です。

それに対し、不定積分の定義は上に書いたものなので、不定積分は原始関数を求める操作ではない訳です。

むしろ、不定積分が原始関数を求める操作であることを示すのが微積分学の基本定理であり、微積分学の基本定理を証明するまでは議論できない事なんです。

成程成程！理解出来ました！

やっぱり高校と大学の相違で色々と分かり辛いですね、、、