写像の問題を逆像法で解く方法について

以前も回答いただき有難うございます。仰る通り∨の処理を見落としていました。。

ただ、それでも順像法で解くと(模範解答ではこちらのみ記述が有りました。)、$0≦X≦\dfrac{3}{2}$のとき、Yのとりうる範囲は

$$-X-\dfrac{1}{4}≦Y≦max\lbrace X^2-4X+2,\dfrac{X^{2}}{4}-\dfrac{X}{2}\rbrace$$

となっているので、

逆像法で解いても

$0≦X≦\dfrac{3}{2}$では

$$\begin{cases}0≦X≦\dfrac{3}{2}\\Y ≧-X-\dfrac{1}{4}　\\Y≦\dfrac{1}{4}(X-1)^{2}-\dfrac{1}{4}\end{cases} ∨ \begin{cases}0≦X≦\dfrac{3}{2}\\Y≦(X-2)^{2}-2 \\Y ≧-X-\dfrac{1}{4}\end{cases} …★$$

(返信欄の文字数制限がある様なので分割します)

(続きです)

が出てくるはずなのですが、(ご指摘頂いた∨の部分を修正すると★の右の方は出てきました。)

何回やっても

$$\begin{cases}1-4(-X-Y)≧0 \\X≧ 2 ( \dfrac{-1+\sqrt{1+4X+4Y}}{2})\\X≧0 \\X≦2 +\dfrac{-1+\sqrt{1+4X+4Y}}{2}\end{cases} ∨ \begin{cases}1-4(-X-Y)≧0 \\X≧ 2 ( \dfrac{-1-\sqrt{1+4X+4Y}}{2})\\X≧0 \\X≦2 +\dfrac{-1-\sqrt{1+4X+4Y}}{2}\end{cases}$$

から★の左が導けず、、どこか根本で間違っているのでしょうか？

何度もお手数をおかけし恐縮なのですが、アドバイス頂ければ幸いです。

なるほどそうでしたか、、、

よく見てみると、$x$を消去した後の条件式の左側にある、

$$X \leqq 2+\dfrac{-1+ \sqrt{1+4X+4Y}}{2}$$

の処理が足りていませんね

この式から$X \geqq \dfrac{3}{2}$の条件を出して$0 \leqq X \leqq \dfrac{3}{2}$の可能性が消えていますが、この式は$0 \leqq X \leqq \dfrac{3}{2}$で恒真となります。よって、左側の条件式からでてくる

$$Y \leqq \dfrac{1}{4}(X-1)^2-\dfrac{1}{4}$$

がそのまま$0 \leqq X \leqq \dfrac{3}{2}$にも適用される、という感じです。

左条件の恒真から0≦X≦3/2部分を導く事は全く気付きませんでした。。有難う御座います。

ご指摘頂いた"恒真"に注意して右条件の同値変形を再確認したのですが、

$$\begin{cases}1+4X+4Y≧0 \\\sqrt{1+4X+4Y}≧-1-X…◆\\X≧0 \\\sqrt{1+4X+4Y}≦3-2X\end{cases}$$

$$⇔\begin{cases}1+4X+4Y≧0 \\\sqrt{1+4X+4Y}≧(-1-X)^{2}\\X≧0 \\0≦3-2X\\Y≦X^{2}-4X+2\end{cases}∨\begin{cases}1+4X+4Y≧0 \\-1-X≦0\\X≧0 \\0≦3-2X\\Y≦X^{2}-4X+2\end{cases}⇔…⇔\begin{cases}0≦X≦\dfrac{3}{2}\\Y≦(X-2)^{2}-2 \\Y ≧-X-\dfrac{1}{4}\end{cases}$$

(続きます)

◆も同様にx≧0の下で恒真だと考え、◆をx≧3/2の場合に反映させる必要がある様に思えるのですが、この考え方は正しいでしょうか？またその場合はどの様に同値変形すれば良いでしょうか。

度々お手数をおかけし申し訳無いです。。残りの疑問はこの点だけに絞る事が出来ましたので、ご教授頂ければ大変有難いです。

簡単に同値変形の全体像を書きます。

左側の条件式は整理すると、

$$\begin{cases}X \geqq 0 \\1+4X+4Y \geqq 0 \\X+1 \geqq \sqrt{1+4X+4Y} \\ 2X-3 \leqq \sqrt{1+4X+4Y}　...①\end{cases}$$

①を$\dfrac{3}{2} \leqq X$及び$0 \leqq X \leqq \dfrac{3}{2}$に場合分けし、正負に注意して変形すると最終的には

$$\begin{cases}\dfrac{3}{2}\leqq X\\1+4X+4Y\geqq0\\Y\leqq\dfrac{X^2}{4}-\dfrac{X}{2}\\ Y\geqq X^2-4X+2\end{cases}∨\begin{cases}0\leqq X\leqq\dfrac{3}{2}\\1+4X+4Y\geqq0\\Y\leqq\dfrac{X^2}{4}-\dfrac{X}{2}\end{cases}$$

となります。

続きに右側の条件式を書きます。

(続き)

$$\begin{cases}X \geqq 0 \\1+4X+4Y \geqq 0 \\-X-1 \leqq \sqrt{1+4X+4Y} \\ 3-2X \geqq \sqrt{1+4X+4Y}　...②\end{cases}$$

②を①と同様に場合分けをして変形していくと、

$$偽∨\begin{cases}0\leqq X\leqq\dfrac{3}{2}\\1+4X+4Y\geqq0\\Y\leqq X^2-4X+2\end{cases}$$

②の$X\geqq\dfrac{3}{2}$で偽となる理由は、

$3X-2$が負となるので、$3X-2\geqq\sqrt{1+4X+4Y}$が成り立たないからです。

やっと理解できました！逆像法での解法がどこにも載っておらず、一人で試行錯誤して上手くいかなかったので大変助かりました。本当に有難うございます。