解決済み
ronriq

写像の問題を逆像法で解く方法について

問題の概要は、∣x∣≦y≦2|x|≦y≦2 で定まる領域をDとし、点P(x,y)がD内を動くとき点Q(x+y,x2−y)(x+y,x^{2}-y)が動きうる範囲Wを図示せよ、と言うものです。



私は、

変換後の点を(X,Y)として


∃x∃y{X+Y=x2+xX＝x+yy≧xy≧−xy≦2\exists x \exists y \begin{cases}X+Y=x^2+x\\X＝x+y \\y≧x \\y≧-x \\y≦2 \end{cases}

∃yを処理して


  ⟺  ∃x{X+Y=x2+xX−x≧xX−x≧−xX−x≦2\iff \exists x \begin{cases}X+Y=x^2+x\\X-x≧x \\X-x≧-x \\X-x≦2 \end{cases}

ここで、一旦xについて解いて

x＝−1±1+4X+4Y2x＝\dfrac{-1\pm\sqrt{1+4X+4Y}}{2}

二次方程式が実数解を持つ条件として判別式D＝1-4(-X-Y)≧0


これらより

  ⟺  ∃x{x＝−1±1+4X+4Y2X−x≧xX−x≧−xX−x≦2\iff \exists x \begin{cases}x＝\dfrac{-1\pm\sqrt{1+4X+4Y}}{2}\\X-x≧x \\X-x≧-x \\X-x≦2 \end{cases}


∃xを処理して

  ⟺  {1−4(−X−Y)≧0X≧2(−1+1+4X+4Y2)X≧0X≦2+−1+1+4X+4Y2∨{1−4(−X−Y)≧0X≧2(−1−1+4X+4Y2)X≧0X≦2+−1−1+4X+4Y2\iff \begin{cases}1-4(-X-Y)≧0 \\X≧ 2 ( \dfrac{-1+\sqrt{1+4X+4Y}}{2})\\X≧0 \\X≦2 +\dfrac{-1+\sqrt{1+4X+4Y}}{2}\end{cases} ∨ \begin{cases}1-4(-X-Y)≧0 \\X≧ 2 ( \dfrac{-1-\sqrt{1+4X+4Y}}{2})\\X≧0 \\X≦2 +\dfrac{-1-\sqrt{1+4X+4Y}}{2}\end{cases}


この後、前者の方は同値変形を繰り返して、

  ⟺  {X≧32Y≧X2−4Y+2Y≦X24−X2Y≧−X−14\iff \begin{cases}X≧\dfrac{3}{2} \\Y≧X^{2}-4Y+2 \\Y≦\dfrac{X^{2}}{4}-\dfrac{X}{2} \\Y ≧-X-\dfrac{1}{4}\end{cases}

となって、xが3/2以上の領域は正しく図示できたのですが、後者の


{1−4(−X−Y)≧0X≧2(−1−1+4X+4Y2)X≧0X≦2+−1−1+4X+4Y2\begin{cases}1-4(-X-Y)≧0 \\X≧ 2 ( \dfrac{-1-\sqrt{1+4X+4Y}}{2})\\X≧0 \\X≦2 +\dfrac{-1-\sqrt{1+4X+4Y}}{2}\end{cases}

の同値変形がなぜか上手くいかず、


{0≦X≦32Y≦(X−2)2−2Y≧−X−14　Y≧14(x−1)2−14∨{0≦X≦32Y≦(X−2)2−2Y≧−X−14 \begin{cases}0≦X≦\dfrac{3}{2}\\Y≦(X-2)^{2}-2 \\Y ≧-X-\dfrac{1}{4}　\\Y≧\dfrac{1}{4}(x-1)^{2}-\dfrac{1}{4}\end{cases} ∨ \begin{cases}0≦X≦\dfrac{3}{2}\\Y≦(X-2)^{2}-2 \\Y ≧-X-\dfrac{1}{4}\end{cases}


上の様になって

0<x<3/2の領域が上手く求まりません。


途中の無理不等式の辺りでミスをしているのか、どこかに論理の誤りがあると思うのですが、自分で見つけられず。。問題点を指摘して頂けないでしょうか。

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回答 1件

ベストアンサー

ontama_udon

詳しく見ていませんが、おそらく変形は合っています

{0≦X≦32Y≦(X−2)2−2Y≧−X−14Y≧14(X−1)2−14∨{0≦X≦32Y≦(X−2)2−2Y≧−X−14\begin{cases}0 \leqq X \leqq \dfrac{3}{2} \\Y \leqq (X-2)^2-2 \\Y \geqq -X-\dfrac{1}{4} \\Y \geqq \dfrac{1}{4}(X-1)^2-\dfrac{1}{4} \\\end{cases}∨\begin{cases}0 \leqq X \leqq \dfrac{3}{2} \\Y \leqq (X-2)^2-2 \\Y \geqq -X-\dfrac{1}{4} \\\end{cases}

左側の条件式は右側の条件式にY≧14(X−1)2−14Y \geqq \dfrac{1}{4}(X-1)^2-\dfrac{1}{4}の条件を付け加えたものになっています。

なので、左側の条件式は右側の条件式に包含されます。

この二つを「または」で結んでいるので、より大きい方が残って

{0≦X≦32Y≦(X−2)2−2Y≧−X−14\begin{cases}0 \leqq X \leqq \dfrac{3}{2} \\Y \leqq (X-2)^2-2 \\Y \geqq -X-\dfrac{1}{4} \\\end{cases}

になります。

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  • ronriq

    以前も回答いただき有難うございます。仰る通り∨の処理を見落としていました。。


    ただ、それでも順像法で解くと(模範解答ではこちらのみ記述が有りました。)、0≦X≦320≦X≦\dfrac{3}{2}のとき、Yのとりうる範囲は

    −X−14≦Y≦max{X2−4X+2,X24−X2}-X-\dfrac{1}{4}≦Y≦max\lbrace X^2-4X+2,\dfrac{X^{2}}{4}-\dfrac{X}{2}\rbrace

    となっているので、

    逆像法で解いても

    0≦X≦320≦X≦\dfrac{3}{2}では

    {0≦X≦32Y≧−X−14　Y≦14(X−1)2−14∨{0≦X≦32Y≦(X−2)2−2Y≧−X−14…★ \begin{cases}0≦X≦\dfrac{3}{2}\\Y ≧-X-\dfrac{1}{4}　\\Y≦\dfrac{1}{4}(X-1)^{2}-\dfrac{1}{4}\end{cases} ∨ \begin{cases}0≦X≦\dfrac{3}{2}\\Y≦(X-2)^{2}-2 \\Y ≧-X-\dfrac{1}{4}\end{cases} …★

    (返信欄の文字数制限がある様なので分割します)


  • ronriq

    (続きです)

    が出てくるはずなのですが、(ご指摘頂いた∨の部分を修正すると★の右の方は出てきました。)

    何回やっても

    {1−4(−X−Y)≧0X≧2(−1+1+4X+4Y2)X≧0X≦2+−1+1+4X+4Y2∨{1−4(−X−Y)≧0X≧2(−1−1+4X+4Y2)X≧0X≦2+−1−1+4X+4Y2\begin{cases}1-4(-X-Y)≧0 \\X≧ 2 ( \dfrac{-1+\sqrt{1+4X+4Y}}{2})\\X≧0 \\X≦2 +\dfrac{-1+\sqrt{1+4X+4Y}}{2}\end{cases} ∨ \begin{cases}1-4(-X-Y)≧0 \\X≧ 2 ( \dfrac{-1-\sqrt{1+4X+4Y}}{2})\\X≧0 \\X≦2 +\dfrac{-1-\sqrt{1+4X+4Y}}{2}\end{cases}

    から★の左が導けず、、どこか根本で間違っているのでしょうか？


    何度もお手数をおかけし恐縮なのですが、アドバイス頂ければ幸いです。

  • ontama_udon

    なるほどそうでしたか、、、


    よく見てみると、xxを消去した後の条件式の左側にある、

    X≦2+−1+1+4X+4Y2X \leqq 2+\dfrac{-1+ \sqrt{1+4X+4Y}}{2}

    の処理が足りていませんね


    この式からX≧32X \geqq \dfrac{3}{2}の条件を出して0≦X≦320 \leqq X \leqq \dfrac{3}{2}の可能性が消えていますが、この式は0≦X≦320 \leqq X \leqq \dfrac{3}{2}で恒真となります。よって、左側の条件式からでてくる

    Y≦14(X−1)2−14Y \leqq \dfrac{1}{4}(X-1)^2-\dfrac{1}{4}

    がそのまま0≦X≦320 \leqq X \leqq \dfrac{3}{2}にも適用される、という感じです。

  • ronriq

    左条件の恒真から0≦X≦3/2部分を導く事は全く気付きませんでした。。有難う御座います。

    ご指摘頂いた"恒真"に注意して右条件の同値変形を再確認したのですが、

    {1+4X+4Y≧01+4X+4Y≧−1−X…◆X≧01+4X+4Y≦3−2X\begin{cases}1+4X+4Y≧0 \\\sqrt{1+4X+4Y}≧-1-X…◆\\X≧0 \\\sqrt{1+4X+4Y}≦3-2X\end{cases}


    ⇔{1+4X+4Y≧01+4X+4Y≧(−1−X)2X≧00≦3−2XY≦X2−4X+2∨{1+4X+4Y≧0−1−X≦0X≧00≦3−2XY≦X2−4X+2⇔…⇔{0≦X≦32Y≦(X−2)2−2Y≧−X−14⇔\begin{cases}1+4X+4Y≧0 \\\sqrt{1+4X+4Y}≧(-1-X)^{2}\\X≧0 \\0≦3-2X\\Y≦X^{2}-4X+2\end{cases}∨\begin{cases}1+4X+4Y≧0 \\-1-X≦0\\X≧0 \\0≦3-2X\\Y≦X^{2}-4X+2\end{cases}⇔…⇔\begin{cases}0≦X≦\dfrac{3}{2}\\Y≦(X-2)^{2}-2 \\Y ≧-X-\dfrac{1}{4}\end{cases}

    (続きます)



  • ronriq

    ◆も同様にx≧0の下で恒真だと考え、◆をx≧3/2の場合に反映させる必要がある様に思えるのですが、この考え方は正しいでしょうか？またその場合はどの様に同値変形すれば良いでしょうか。


    度々お手数をおかけし申し訳無いです。。残りの疑問はこの点だけに絞る事が出来ましたので、ご教授頂ければ大変有難いです。

  • ontama_udon

    簡単に同値変形の全体像を書きます。

    左側の条件式は整理すると、

    {X≧01+4X+4Y≧0X+1≧1+4X+4Y2X−3≦1+4X+4Y　...①\begin{cases}X \geqq 0 \\1+4X+4Y \geqq 0 \\X+1 \geqq \sqrt{1+4X+4Y} \\ 2X-3 \leqq \sqrt{1+4X+4Y}　...①\end{cases}

    ①を32≦X\dfrac{3}{2} \leqq X及び0≦X≦320 \leqq X \leqq \dfrac{3}{2}に場合分けし、正負に注意して変形すると最終的には

    {32≦X1+4X+4Y≧0Y≦X24−X2Y≧X2−4X+2∨{0≦X≦321+4X+4Y≧0Y≦X24−X2\begin{cases}\dfrac{3}{2}\leqq X\\1+4X+4Y\geqq0\\Y\leqq\dfrac{X^2}{4}-\dfrac{X}{2}\\ Y\geqq X^2-4X+2\end{cases}∨\begin{cases}0\leqq X\leqq\dfrac{3}{2}\\1+4X+4Y\geqq0\\Y\leqq\dfrac{X^2}{4}-\dfrac{X}{2}\end{cases}

    となります。

    続きに右側の条件式を書きます。

  • ontama_udon

    (続き)

    {X≧01+4X+4Y≧0−X−1≦1+4X+4Y3−2X≧1+4X+4Y　...②\begin{cases}X \geqq 0 \\1+4X+4Y \geqq 0 \\-X-1 \leqq \sqrt{1+4X+4Y} \\ 3-2X \geqq \sqrt{1+4X+4Y}　...②\end{cases}

    ②を①と同様に場合分けをして変形していくと、

    偽∨{0≦X≦321+4X+4Y≧0Y≦X2−4X+2偽∨\begin{cases}0\leqq X\leqq\dfrac{3}{2}\\1+4X+4Y\geqq0\\Y\leqq X^2-4X+2\end{cases}

    ②のX≧32X\geqq\dfrac{3}{2}で偽となる理由は、

    3X−23X-2が負となるので、3X−2≧1+4X+4Y3X-2\geqq\sqrt{1+4X+4Y}が成り立たないからです。

  • ronriq

    やっと理解できました！逆像法での解法がどこにも載っておらず、一人で試行錯誤して上手くいかなかったので大変助かりました。本当に有難うございます。

  • ronriq
    お礼

    理解できました。何度も返信頂いてお手数をおかけしました。本当に有難う御座います。

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