異なる4つの実数解を持つのを考えるためにtの方程式を考えるだけでわかる理由を教えてください！！

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Enigmathematics 2023/12/12

この画像の一番最初の方にある式の変形はこの方程式を解くための大事な手順となっています。この四次方程式は俗にいう複二次式というもので

$Ax^4+Bx^2+C=0$ みたいな感じです。これは上にもあるように $x^2=t$ というように置くことで $At^2+Bt+C=0$ と二次方程式の振舞いをします。ですから $t$ の二次方程式を考えることであとは $x^2=t$ を解いて目下の四次方程式が求められるわけですね。

$Ax^4+Bx^2+C=0\\↓　↑\\x^2=t\\↓　↑\\At^2+Bt+C=0$

まとめると、こんな感じ？ですかね

haru_haru 2023/12/13

丁寧に説明ありがとうございます！理解しました！もう1つ質問なのですが、異なる4つの実数解を持つには2つの正の解が必要な理由を教えて欲しいです！
Enigmathematics 2023/12/13

さっきの通り、 $t=x^2$ の変形で $t$ が二つ出せたと(二つ出ないといけない)思いますが、例えば解の一つに $t=-1$ が出たらどうでしょう。すると $x=±i$ 、と虚数解ができてしまい、異なる $4$ つの「実数解」が出てきません。だから $t$ が正であり、 $2$ つ出てくる必要があるんです
haru_haru 2023/12/13

そういうことなんですね！理解できました！ありがとうございます！！
誘導の部分から、(1)がa=0のとき実数解が1個、(2)がa=2のとき実数解が3個ということも分かってるので、実数解4個になるには、a＞2という感じでも解けるのではないかと考えましたが、この考え方でも合ってますか？
Enigmathematics 2023/12/14

返信遅れてすみません🙇
実際のところ $a>2$ が上記のような感じで出そうと思ったら、ちょっと微妙かもしれません。いつどんなときに解の個数がどうなるのかは式をしっかり見ないと分からないです。実数解が4個になるときは選択肢にもあるように $a<0,　0<a<2,　2<a$ の3つが可能性としてあるので単純に $a$ が増えても解の個数が同じように増えるかどうかは分からないということですね。
haru_haru 2023/12/14

そうなんですね！やっぱりしっかり考えた方が良いということですよね！丁寧に説明して頂いてありがとうございました！！😭

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異なる4つの実数解を持つのを考えるためにtの方程式を考えるだけでわかる理由を教えてください！！

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