一般に、f(x)が微分可能ならf(x)/xも微分可能なのですか？下の2021京大の大門6の2で、解説にはそのようになっ

Question

一般に、f(x)が微分可能ならf(x)/xも微分可能なのですか？

下の2021京大の大門6の2で、解説にはそのようになっていました。

これのせいで全完逃した上に、この関数を考えるんだろうなというところまでは来ていましたので、超絶不服です。

これは高校生に出すべき問題ですか？しかもコロナ真っ只中のですよ。

それに、成り立つことがたとえ自明だとしても証明は付けるべきではないのですか？

質問が多いですが、詳しい方よろしくお願いいたします🤲

@sHlcNRe46 · Accepted Answer

$$\begin{aligned} \lim_{h	o0}\dfrac{\frac{f(x+h)}{x+h}-\frac{f(x)}{x}}{h}&=\lim_{h	o0}\dfrac{xf(x+h)-(x+h)f(x)}{hx(x+h)}\ &=\lim_{h	o0}\dfrac{(x+h)f(x+h)-(x+h)f(x)-hf(x+h)}{hx(x+h)} \ &=\lim_{h	o0}\left(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{hx}-\dfrac{f(x+h)}{x(x+h)}ight) \ &=\dfrac{f'(x)}{x}-\dfrac{f(x)}{x^2}\ &=\dfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2} \end{aligned}$$ となるので、$f(x)$ が微分可能であるとき、$x
eq0$ で $\dfrac{f(x)}{x}$ も微分可能(場合によっては $x=0$ でも微分可能)です。  今回は区間 $1<x<a$ のみで微分可能であればよいので、問題はありません。  微分可能であることを示すときは、定義どおりに極限を求めることが多いです。 分数関数を微分した形は知っているので、結論に導くように式変形を考えれば難易度は高くありません。 写真の解答例では、微分可能であるという断りは入れていますが、証明はしていませんね。 個人的には、この程度の証明は書く方が無難かなと思います。本試験なので大学側がどのような採点基準を設けているかはわかりませんし、ましてや論証を重視する京大ですから。