数学の質問です。

実数$x,y$が$x^2-4x+4y^2=1$を満たす時、$x-y$の最大値と最小値を求めよ。

と言う問題で、解説では、$x-y=k$と置いて、これを$y=x-k$と変形して、これを$x^2-4x+4y^2=1$を代入して実数$x$が存在する様な$k$の最大値、最小値を求めれば良いと書いてあったのですが、$x$が実数である$k$の範囲を求めても、$k$がその範囲の時の$y$が実数でないことはないのでしょうか？なぜ$x$が実数である$k$の範囲では、$y$も実数なのでしょうか？

回答宜しくお願いします。