今日久しぶりに詰まった積分です。$$\int_0^\dfrac{\pi}{2} \sin x \log \sin x dx$$を求められる方はいらっしゃいますか？

$2$ に収束する部分は $$\lim_{\alpha \to \frac{\pi}{2}}\dfrac{(\sin(\alpha)+1)(\cos^{\sin(\alpha)}\alpha)}{\cos(\alpha)}$$ $$=2\lim_{\alpha \to \frac{\pi}{2}}\dfrac{(\cos^{\sin(\alpha)}\alpha)}{\cos(\alpha)}$$ $$=2\lim_{\alpha \to 0}-\dfrac{-\sin^{\cos(\alpha)}(\alpha)}{\sin(\alpha)}$$ $$=-2\lim_{\alpha \to 0}\dfrac{(-\alpha)^{\cos(\alpha)}}{\alpha}$$

$$=-2\lim_{\alpha \to 0}\dfrac{(-\alpha)^{1-2\sin^{2}(\frac{\alpha}{2})}}{\alpha}$$ $$=-2\lim_{\alpha \to 0}-\dfrac{1}{(-\alpha)^{2\sin^{2}(\frac{\alpha}{2})}}$$ $$=-2\lim_{\alpha \to 0}-\dfrac{1}{(-\alpha)^{\frac{\alpha^{2}}{2}}}$$ $$=2\lim_{\alpha \to 0}e^{-\frac{\log(-\alpha)\alpha^{2}}{2}}$$

ここで、 $$\lim_{\alpha \to 0}-\frac{\log(-\alpha)\alpha^{2}}{2}=-\dfrac{1}{2}\lim_{\alpha \to \infty}\frac{\log(-\dfrac{1}{\alpha})}{\alpha^{2}}=0$$ より、 $$2\lim_{\alpha \to 0}e^{-\frac{\log(-\alpha)\alpha^{2}}{2}}=2\lim_{\alpha \to 0}e^{0}=2$$ と計算できます 楽になりそうだと思ったら逆に複雑になりました

わざわざ詳しく書いてくださりありがとうございます

とても助かります

本当にありがとうございます